Дифференциальные уравнения. Двойной интеграл [1, гл.III]

Решение.

Тема 3

Двойной интеграл [1, гл.III]

Рассмотрим на нескольких примерах приемы вычисления двойных интегралов.

Пример 8. Вычислить повторный интеграл , затем изменить порядок интегрирования, вычислить полученный интеграл и сравнить ответы.

а)

б) Строим область интегрирования (заштрихованная рис.1) согласно заданным пределам по x и по y и меняем порядок интегрирования.Эту область разобъем отрезком прямой y=1 (x на две замкнутые области D . В D y изменяется от 0 до 1, а x изменяется от 0 до y. В D имеем 1 . Окончательно поучим:

Рис.1

Пример 9. Вычислить двойной интеграл по области

.

Решение. Представим двойной интеграл в виде повторного: сначала по х, затем по у (рис.2)

Рис. 2

Интеграл найдём по частям.

Интеграл . Поэтому .

Тема 4 [4,гл.XIII]

Простейший пример дифференциального уравнения первого порядка первой степени, разрешенное относительно производной, имеет вид

.

Функция f(x) предполагается непрерывной на некотором интервале (a,b) оси x. Пользуясь другим обозначением производной, можно записать это уравнение в виде

Множество решений этого уравнения даётся формулой

(1)

где с- произвольная постоянная.

Пример 10. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Согласно (1) имеем

Уравнения вида

(2)

называются уравнениями с разделенными переменными. Функции будем считать непрерывными.

Пример 11. Найти общее решение дифференциального уравнения

y′=0.

Решение. Перепишем его в виде

2x(1+y )+ =0.

Домножим обе части на dx≠0 и получим

2x(1+y )dx+ dy=0.

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Левую и правую части полученного уравнения разделим на (1+y и проинтегрируем:

,

arctgy-2 =C.

Пример 12. Найти общий интеграл уравнения

y′= .

Решение. Это уравнение является однородным, так как сводится к виду y′=f(

Разделим числитель и знаменатель исходной дроби на ≠0.

Получим: y′= Замена

Тогда y=x·t(x) и y′=1+x·t′.

Следовательно

t+xt′=

x· .

Разделяем переменные x,t и интегрируем:

2arctgt-3ln(t =ln +c.

Возвращаясь к старым переменным y и x, получим

2 arctg c.

Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 409; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!