Задачи по сопротивлению материалов

Рис. 2

Дано: абсолютно жесткий стержень ВС, рис. 2, где а =4 м; b =2 м; с =3 м; А = м²; =45⁰. Выполнить задание согласно выше приведенным требованиям.

Решение

1. С точки зрения статики для данной конструкции можно написать три уравнения равновесия, а число неизвестных четыре. Требуется еще одно уравнение. Дополнительное уравнение можно составить, рассматривая деформацию системы. Пренебрегая деформацией стержня ВС, для его нового положения ВС’ можно найти из подобия треугольников соотношение между и , что дает дополнительное уравнение, а именно

. (1.1)

Значения линейных деформаций входящих в это уравнения будут следующие:

где

Подставляя эти значения в уравнение (1.1) и принимая Е₁ = Е₂, получаем

или с учетом числовых значений

. (1.2)

В этом соотношении два неизвестных F₁ и F₂. Для их определения требуется еще одно уравнение, которое получим из условия равновесия моментов сил относительно шарнира В

.

Подставляя числовые значения, получаем

. (1.3)

Решая систему уравнений (1.2) и (1.3), получаем усилия в подвесках выраженные через силу F, т.е.

;

.

Напряжения в стержнях равны

Па;

Па.

2. Для определения допускаемой нагрузки большее напряжение из двух стержней приравнивается к допускаемому напряжению МПа, т.е.

Па.

Отсюда

н =278,3 кН.

3. Определяем предельную грузоподъемность системы и допускаемую нагрузку, если предел текучести материала стержней МПа, а коэффициент запаса прочности S = 1,5.

При увеличении нагрузки напряжение во втором стержне достигает предела текучести ранее, чем в первом. Когда это произойдет, напряжение во втором стержне не будет некоторое время расти даже при увеличении нагрузки, система станет как бы статически определимой, нагруженной силой F (пока еще неизвестной), а усилие во втором стержне составит

кН. (1.4)

При дальнейшем увеличении нагрузки напряжение и в первом стержне достигнет предела текучести и тогда

кН. (1.5)

Написав уравнение статики (1.3) и подставив в него значения полученных усилий в стержнях из (1.4) и (1.5), найдем предельную грузоподъемность , что соответствует для данного случая кН.

Далее определяется допускаемая нагрузка, если коэффициент запаса прочности

кН.

4. При сравнении величин и , полученных при расчете по допускаемым напряжениям (п. 2) и по допускаемым нагрузкам (п. 3), получаем, что во втором случае полезная нагрузка F на 30,8 % больше, что объясняется деформацией более нагруженного стержня за счет текучести материала стержней.

Задача C2.

К стальному ступенчатому валу, имеющему сплошное поперечное сечение, приложены четыре момента (рис. 3). Левый конец вала жестко закреплен в опоре, а правый конец – свободен и его торец имеет угловые пе­ремещения относительно лево­го конца.

Рис. 3

Требуется:

1) построить эпюру крутя­щих моментов по длине вала;

2) при заданном значении допускаемого напряжения на кручение определить диаметры d₁ и d₂ вала из расчета на прочность; полученные значения округлить;

3) построить эпюру дейст­вительных напряжений круче­ния по длине вала;

4) построить эпюру углов закручивания, приняв G= 0,4 Е.

Данные взять из табл. 2.

Таблица 2

Вариант	Расстояния, м	Моменты, кНм	, МПа
а	b	с	Т1	Т2	Т3	Т4
	1,0	1,0	1,0	5,1	2,1	1,1	0,1
	1,1	1,1	1,1	5,2	2,2	1,2	0,2
	1,2	1,2	1,2	5,3	2,3	1,3	0,3
	1,3	1,3	1,3	5,4	2,4	1,4	0,4
	1,4	1,4	1,4	5,5	2,5	1,5	0,5
	1,5	1,5	1,5	5,6	2,6	1,6	0,6
	1,6	1,6	1,6	5,7	2,7	1,7	0,7
	1,7	1,7	1,7	5,8	2,8	1,8	0,8
	1,8	1,8	1,8	5,9	2,9	1,9	0,9
	1,9	1,9	1,9	6,0	3,0	2,0	1,0

Пример С2

Для вала, представленного на рис. 4, выполнить расчеты и сделать построения согласно требований задачи С2. Исходные данные: Т₁ = 10 кНм; Т₂ =3 кНм; Т₃ =1 кНм; Т₄ =2 кНм; а =2 м; b =1 м; c =1,5 м; =50 МПа.

Решение

1. Поскольку правый конец вала свободный, то построение эпюры М_кр целесообразно проводить справа налево (если построение вести слева направо, то необходимо дополнительно найти реакцию в опоре). Мысленно проводим поперечное сечение на каждом участке и отбрасываем левую часть. Для уравновешивания оставшейся правой части требуется приложить в сечении момент М_кр.

На четвертом участке: кН.

На третьем участке: кН.

На втором участке: кН.

На первом участке: кН.

Согласно полученным значениям строим эпюру М_кр, рис. 4.

2. Определяем диаметры вала d₁ и d₂ из условия прочности

,

где – момент сопротивления для круглого сечения, м³. Отсюда получаем

.

Для участка 1-2 м = 84 мм.

Для участка 3-4 м = 67 мм.

Полученные диаметры округляем до ближайшего большего значения из предпочтительного ряда d₁ =85 мм, d₂ =70 мм.

3. Строим эпюру касательных напряжений, определяя на каждом участке:

на первом участке МПа;

на втором участке МПа;

на третьем участке МПа;

на четвертом участке МПа.

По полученным значениям , соблюдая масштаб, строится эпюра касательных напряжений. Ординаты эпюры откладываем в ту же сторону, что и соответствующие ординаты эпюры М_кр. Знак касательного напряжения при расчете на прочность никакой роли не играет, и принятое направление ординат эпюры считается условным.

4. Строим эпюру углов закручивания вала. Построение производится слева направо, т.к. угол поворота поперечного сечения вала в опоре равен нулю и является началом отсчета. Угол закручивания на каждом участке длиной l_i определяется как

,

где I_i – полярный момент инерции, м⁴, для круга ; G – модуль упругости второго рода, для стали в среднем МПа.

На первом участке рад. = -0,11⁰.

На втором участке рад. = 0,086⁰.

На третьем участке рад. = 0,13⁰.

На четвертом участке рад. = 0,12⁰.

В пределах каждого из участков вала эпюра линейная, поэтому достаточно знать углы поворота только для граничных сечений участков (рис. 4). Общий угол закручивания правого торца вала относительно левого торца равен алгебраической сумме углов закручивания по участкам, т.е.

.

Эпюра строится последовательно с учетом знаков М_кр, начиная с левого торца, где .

Рис. 4

Задача С3