Корректность процедуры нормализации - декомпозиция без потерь. Теорема Хеза 2 страница

Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется учитывать данные об абитуриентах, поступающих в ВУЗ. При анализе предметной области были выделены следующие требования:

• Каждый абитуриент имеет право сдавать экзамены на несколько факультетов одновременно.
• Каждый факультет имеет свой список сдаваемых предметов.
• Один и тот же предмет может сдаваться на нескольких факультетах.
• Абитуриент обязан сдавать все предметы, указанные для факультета, на который он поступает, несмотря на то, что он, может быть, уже сдавал такие же предметы на другом факультете.

Предположим, что нам требуется хранить данные о том, какие предметы должен сдавать каждый абитуриент. Попытаемся хранить данные в одном отношении "Абитуриенты-Факультеты-Предметы":

Таблица 7 Отношение "Абитуриенты-Факультеты-Предметы"

В данный момент в отношении хранится информация о том, что абитуриент Иванов поступает на два факультета (математически и физический), а абитуриент Петров - только на математический. Кроме того, можно сделать вывод, что на математическом факультете нужно сдавать математику и информатику, а на физическом - математику и физику.

Кажется, что в отношении имеется аномалия обновления, связанная с тем, что дублируются фамилии абитуриентов, наименования факультетов и наименования предметов. Однако эта аномалия легко устраняется стандартным способом - вынесением всех наименований в отдельные отношения, оставляя в исходном отношении только соответствующие номера:

Таблица 8 Модифицированное отношение "Абитуриенты-Факультеты-Предметы"

Таблица 9 Отношение "Абитуриенты"

Таблица 10 Отношение "Факультеты"

Таблица 11 Отношение "Предметы"

Теперь каждое наименование встречается только в одном месте.

И все-таки как в исходном, так и в модифицированном отношении имеются аномалии обновления, возникающие при попытке вставить или удалить кортежи.

Аномалия вставки. При попытке добавить в отношение "Абитуриенты-Факультеты-Предметы" новый кортеж, например (Сидоров, Математический, Математика), мы обязаны добавить также и кортеж (Сидоров, Математический, Информатика), т.к. все абитуриенты математического факультета обязаны иметь один и тот же список сдаваемых предметов. Соответственно, при попытке вставить в модифицированное отношении кортеж (3, 1, 1), мы обязаны вставить в него также и кортеж (3, 1, 2).

Аномалия удаления. При попытке удалить кортеж (Иванов, Математический, Математика), мы обязаны удалить также и кортеж (Иванов, Математический, Информатика) по той же самой причине.

Таким образом, вставка и удаление кортежей не может быть выполнена независимо от других кортежей отношения.

Кроме того, если мы удалим кортеж (Иванов, Физический, Математика), а вместе с ним и кортеж (Иванов, Физический, Физика), то будет потеряна информация о предметах, которые должны сдаваться на физическом факультете.

Декомпозиция отношения "Абитуриенты-Факультеты-Предметы" для устранения указанных аномалий не может быть выполнена на основе функциональных зависимостей, т.к. это отношение не содержит никаких функциональных зависимостей. Это отношение является полностью ключевым, т.е. ключом отношения является все множество атрибутов. Но ясно, что какая-то взаимосвязь между атрибутами имеется. Эта взаимосвязь описывается понятием многозначной зависимости.

Определение 2. Пусть - отношение, и , , - некоторые из его атрибутов (или непересекающиеся множества атрибутов).

Тогда атрибуты (множества атрибутов) и многозначно зависят от (обозначается ), тогда и только тогда, когда из того, что в отношении содержатся кортежи и следует, что в отношении содержится также и кортеж к .

Замечание. Меняя местами кортежи и в определении многозначной зависимости, получим, что в отношении должен содержаться также и кортеж . Таким образом, атрибуты и , многозначно зависящие от , ведут себя "симметрично" по отношению к атрибуту .

В отношении "Абитуриенты-Факультеты-Предметы" имеется многозначная зависимость Факультет Абитуриент|Предмет.

Словами это можно выразить так - для каждого факультета (для каждого значения из ) каждый поступающий на него абитуриент (значение из ) сдает один и тот же список предметов (набор значений из ), и для каждого факультета (для каждого значения из ) каждый сдаваемый на факультете экзамен (значение из ) сдается одним и тем же списком абитуриентов (набор значений из ). Именно наличие этой зависимости не позволяет независимо вставлять и удалять кортежи. Кортежи обязаны вставляться и удаляться одновременно целыми наборами.

Замечание. Если в отношении имеется не менее трех атрибутов , , и есть функциональная зависимость , то есть и многозначная зависимость .

Действительно, действуя формально в соответствии с определением многозначной зависимости, предположим, что в отношении содержатся кортежи и . В силу функциональной зависимости отсюда следует, что . Но тогда кортеж в точности совпадает с кортежем и, следовательно, содержится в отношении . Таким образом, имеется многозначная зависимость .

Таким образом, понятие многозначной зависимости является обобщением понятия функциональной зависимости.

Определение 3. Многозначная зависимость называется нетривиальной многозначной зависимостью, если не существует функциональных зависимостей и .

В отношении "Абитуриенты-Факультеты-Предметы" имеется именно нетривиальная многозначная зависимость Факультет Абитуриент|Предмет. В силу нетривиальности этой зависимости мы не можем воспользоваться теоремой Хеза для декомпозиции отношения. Однако Фейджином Р. [52] доказана следующая теорема:

Теорема (Фейджина). Пусть , , - непересекающиеся множества атрибутов отношения .

Декомпозиция отношения на проекции и будет декомпозицией без потерь тогда и только тогда, когда имеется многозначная зависимость .

Замечание. Если зависимость является тривиальной, т.е. существует одна из функциональных зависимостей или , то получаем теорему Хеза.

Доказательство теоремы.

Необходимость. Пусть декомпозиция отношения на проекции и является декомпозицией без потерь. Докажем что .

Предположим, что отношение содержит кортежи и . Необходимо доказать, что кортеж также содержится в . По определению проекций, кортеж содержится в , а кортеж содержится в . Тогда кортеж содержится в естественном соединении , а в силу того, что декомпозиция является декомпозицией без потерь, этот кортеж содержится и в . Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть имеется многозначная зависимость . Докажем, что декомпозиция отношения на проекции и является декомпозицией без потерь.

Как и в доказательстве теоремы Хеза, нужно доказать, что для любого состояния отношения .

Включение доказывается как в теореме Хеза. Такое включение выполняется всегда для любой декомпозиции отношения .

Докажем включение . Пусть кортеж . Это означает, что в проекции содержится кортеж , а в проекции содержится кортеж . По определению проекции, найдется такое значение атрибута , что отношение содержит кортеж . Аналогично, найдется такое значение атрибута , что отношение содержит кортеж . Тогда по определению многозначной зависимости кортеж . Включение доказано. Достаточность доказана. Теорема доказана.

Определение 4. Отношение находится в четвертой нормальной форме (4НФ) тогда и только тогда, когда отношение находится в НФБК и не содержит нетривиальных многозначных зависимостей.

Отношение "Абитуриенты-Факультеты-Предметы" находится в НФБК, но не в 4НФ. Согласно теореме Фейджина, это отношение можно без потерь декомпозировать на отношения:

Таблица 12 Отношение "Факультеты-Абитуриенты"

Таблица 13 Отношение "Факультеты-Предметы"

В полученных отношениях устранены аномалии вставки и удаления, характерные для отношения "Абитуриенты-Факультеты-Предметы".

Заметим, что полученные отношения остались полностью ключевыми, и в них по-прежнему нет функциональных зависимостей.

Отношения с нетривиальными многозначными зависимостями возникают, как правило, в результате естественного соединения двух отношений по общему полю, которое не является ключевым ни в одном из отношений. Фактически это приводит к попытке хранить в одном отношении информацию о двух независимых сущностях. В качестве еще одного примера можно привести ситуацию, когда сотрудник может иметь много работ и много детей. Хранение информации о работах и детях в одном отношении приводит к возникновению нетривиальной многозначной зависимости Работник Работа|Дети.

5НФ (Пятая Нормальная Форма)

Функциональные и многозначные зависимости позволяют произвести декомпозицию исходного отношения без потерь на две проекции. Можно, однако, привести примеры отношений, которые нельзя декомпозировать без потерь ни на какие две проекции.

Пример 3. Рассмотрим следующее отношение :

Таблица 14 Отношение R

Всевозможные проекции отношения , включающие по два атрибута, имеют вид:

Таблица 15 Проекция R1=R[X,Y]

Таблица 16 Проекция R2=R[X,Z]

Таблица 17 Проекция R3=R[Y,Z]

Как легко заметить, отношение не восстанавливается ни по одному из попарных соединений , или . Действительно, соединение имеет вид:

Таблица 18 R1 JOIN R2

Серым цветом выделен лишний кортеж, отсутствующий в отношении . Аналогично (в силу соображений симметрии) и другие попарные соединения не восстанавливают отношения .

Однако отношение восстанавливается соединением всех трех проекций:

.

Это говорит о том, что между атрибутами этого отношения также имеется некоторая зависимость, но эта зависимость не является ни функциональной, ни многозначной зависимостью.

Определение 5. Пусть является отношением, а , , …, - произвольными (возможно пересекающимися) подмножествами множества атрибутов отношения . Тогда отношение удовлетворяет зависимости соединения

тогда и только тогда, когда оно равносильно соединению всех своих проекций с подмножествами атрибутов , , …, , т.е.

.

Можно предположить, что отношение в примере 3 удовлетворяет следующей зависимости соединения:

.

Утверждать, что это именно так мы пока не можем, т.к. определение зависимости соединения должно выполняться для любого состояния отношения , а не только для состояния, приведенного в примере.

Покажем, что зависимость соединения является обобщением понятия многозначной зависимости. Действительно, согласно теореме Фейджина, отношение может быть декомпозировано без потерь на проекции и тогда и только тогда, когда имеется многозначная зависимость . Согласно определению зависимости соединения, теорема Фейджина может быть переформулирована следующим образом:

Теорема Фейджина (другая формулировка). Отношение удовлетворяет зависимости соединения тогда и только тогда, когда имеется многозначная зависимость .

Т.к. теорема Фейджина является взаимно обратной, то ее можно взять в качестве определения многозначной зависимости. Таким образом, многозначная зависимость является частным случаем зависимости соединения, т.е., если в отношении имеется многозначная зависимость, то имеется и зависимость соединения. Обратное, конечно, неверно.

Определение 6. Зависимость соединения называется нетривиальной зависимостью соединения, если выполняется два условия:

• Одно из множеств атрибутов не содержит потенциального ключа отношения .
• Ни одно из множеств атрибутов не совпадает со всем множеством атрибутов отношения .

Для удобства работы сформулируем это определение так же и в отрицательной форме:

Определение 7. Зависимость соединения называется тривиальной зависимостью соединения, если выполняется одно из условий:

• Либо все множества атрибутов содержат потенциальный ключ отношения .
• Либо одно из множеств атрибутов совпадает со всем множеством атрибутов отношения .

Определение 8. Отношение находится в пятой нормальной форме (5НФ) тогда и только тогда, когда любая имеющаяся зависимость соединения является тривиальной.

Определения 5НФ может стать более понятным, если сформулировать его в отрицательной форме:

Определение 9. Отношение не находится в 5НФ, если в отношении найдется нетривиальная зависимость соединения.

Возвращаясь к примеру 3, становится понятно, что не зная ничего о том, какие потенциальные ключи имеются в отношении и как взаимосвязаны атрибуты, нельзя делать выводы о том, находится ли данное отношение в 5НФ (как, впрочем, и в других нормальных формах). По данному конкретному примеру можно только предположить, что отношение в примере 3 не находится в 5НФ. Предположим, что анализ предметной области позволил выявить следующие зависимости атрибутов в отношении :

(i) Отношение является полностью ключевым (т.е. потенциальным ключом отношения является все множество атрибутов).

(ii) Имеется следующая зависимость (довольно странная, с практической точки зрения): если в отношении содержатся кортежи , и , то отсюда следует, что в отношении содержится также и кортеж .

Утверждение. Докажем, что при наличии ограничений (i) и (ii), отношение находится в 4НФ, но не в 5НФ.

Доказательство. Покажем, что отношение находится в 4НФ. Согласно определению 4НФ, необходимо показать, что отношение находится в НФБК и не содержит нетривиальных многозначных зависимостей. Т.к. отношение является полностью ключевым, то оно автоматически находится в НФБК. Если бы в отношении имелась многозначная зависимость (необязательно нетривиальная), то, согласно теореме Фейджина, отношение можно было бы декомпозировать без потерь на две проекции. Но пример 3 показывает, что таких декомпозиций нет (здесь мы воспользовались тем, что для доказательства возможности декомпозиции необходимо доказать ее для всех возможных состояний отношения, а для доказательства невозможности достаточно привести один контрпример). Поэтому в отношении нет никаких многозначных зависимостей.

Дата добавления: 2014-12-08; Просмотров: 509; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!