Вращение твёрдого тела. Юла, если на неё смотреть сверху, будет прецессировать против часовой стрелки, так как момент сил трения

Задача № 23 (2 балла) Решение: (ОФ, 2010)

Юла, если на неё смотреть сверху, будет прецессировать против часовой стрелки, так как момент сил трения, возникающий в месте соприкосновения оси юлы с поверхностью и действующий на ось, направлен вниз.После того, как вращение юлы замедлится, она коснётся боком горизонтальной поверхности, что приведёт к изменению вращения оси юлы на противоположное так как, вектор момента сил трения повернётся на 180 ⁰.

К тем же выводам мы придём, если воспользуемся законом сохранения момента импульса (в проекциях на вертикальную ось): полный момент импульса замкнутой системы (по 3-му закону Ньютона силы, действующие внутри системы “поверхность и юла “ равны и противоположны, а проекция момента силы тяжести на вертикальную ось равна нулю) не изменяется со временем. Таким образом, в любой момент времени полный момент импульса системы равен первоначальному, то есть в данном случае – нулю. Тогда запишем: .

Отсюда видно, что угловые скорости вращения юлы вокруг собственной оси и вокруг вертикальной оси, в проекциях на эту ось, всегда противоположны.

Задача № 24 (6 баллов) Решение: (ОФ, 2009)

После того, как масса Земли станет равной массе Солнца, она будет вращаться вокруг их общего центра масс (точка B), при этом расстояние между ними не изменится, а новой траекторией движения будет окружность радиусом .

Приравнивая в первом и во втором случае центробежную силу инерции и и силу гравитационного притяжения, получим:

(1) и (2).

Разделив левые и правые части уравнений, найдём:

Задача № 25 (7 баллов) Решение: (ОФ ИПИ, 1988)

Рассмотрим сначала просто держащегося за нить муравья. В этом случае имеем два уравнения, вытекающих соответственно из 2-го закона Ньютона- и основного закона динамики вращения твёрдого тела- :

(1) и или (2). Отсюда, исключая Т, найдём тангенциальное ускорение нити, совпадающее с ускорением движения груза вниз: (3). Сила натяжения нити при этом равна:

(4).

Если муравей побежит вверх с ускорением a относительно нити, то (в системе отсчёта, движущейся вместе с ним) на нить дополнительно к силе тяжести будет действовать направленная вниз сила инерции (здесь через обозначено ускорение муравья относительно пола). При этом тангенциальное ускорение нити будет по-прежнему определяться уравнением (3), при условии, что напряжённость гравитационного поля Земли возросла до значения . Тогда найдём:

(5), и (6).

Учитывая, что ускорение муравья относительно нити (7),

и отсюда (8), получим из (5): (8).

Выражая отсюда ускорение относительно пола , найдём:

(9), при этом (10).

Поскольку относительное ускорение по второму закону Ньютона равно (11), то получим:

(12), (13) и (14).

К этим же результатам можно прийти, если перейти в неинерциальную систему отсчёта, в которой нить неподвижна. В этом случае уравнения движения системы будут иметь вид:

и , где .

Из (12) следует, что при движении муравья вверх (относительно пола)

или . Если (15), то муравей поднимается вверх с постоянной скоростью, при этом . Так как момент инерции катушки в соответствии с условием задачи равен , то получим , где P - вес муравья.

Отсюда найдём- при массе катушки муравей поднимается вверх. Так как значение силы, действующей со стороны насекомого на нить, изменяется в диапазоне значений от нуля до указанного в условиях задачи максимального значения F, то для движения вверх - .

Задача № 26 (6 баллов ) Решение: (РОФ, 2006)

Несложно доказать, что центр масс тела должен находится на прямой, проходящей через центры масс “половинок” спортсмена. Одновременно с этим, он должен принадлежать вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса, так как центр масс спортсмена (т.C) не может сместиться вдоль горизонтальной оси (F _x = 0). Таким образом, ясно, что точка C на рисунке находится в центре правого нижнего квадрата.

Тогда из Δ АBС получим:

Задача № 27 (6 баллов ) Решение: (РОФ, 2004)

Из рисунка видно, что камень, имеющий форму куба, может начать перекатываться по дну реки (поворот вокруг точки А) при условии, что:

(1), (при этом вращающие моменты силы тяжести и силы сопротивления равны друг другу- ).

По условию: ~ (2). Тогда из (1) и (2) следует, что ~ (3). Если учесть, что при этом вес камня пропорционален кубу его размера ~ (4), а площадь его поперечного сечения прямо пропорциональна квадрату его размера ~ (5), то получим:

~ (6). С учётом (3) найдём: ~ (7). Данная пропорция показывает, что если поток воды имеет скорость , то минимальный размер камней, переворачиваемых им, зависит от квадрата его скорости.

Поскольку, в соответствии с выражением (4), вес камня пропорционален кубу его характерного размера, то получим утверждение, которое в гидрологии носит название “закон Эри”: ~ (т.е. “увеличение скорости течения в раз сообщает потоку способность увлекать предметы в раз более тяжёлые ”.

Окончательно получим:

Задача № 28 (7 баллов ) Решение: (РОФ, 2005)

При движении по дуге окружности тело будет иметь нормальное ускорение под действием силы реакции опоры со стороны стенки и тангенциальное ускорение под действием силы трения:

ma _n = N, (1)

ma _t = - F _тр, (2) и F _тр = kN. (3)

Решая совместно уравнения (1), (2), (3), получим:

- a _t = ka _n, или . (4)

Так как , то .

Подставим последнее выражение в (4), получим:

, .

Интегрируя, получим: или или = 1/3.

Задача № 29 (6 баллов ) Решение: (РОФ, 2010)