Дії над матрицями

Додавання. Дія додавання матриць вводиться тільки для матриць однакових розмірів.

Сумою двох матриць і називається матриця така, що , де .

Сума трьох матриць – це матриця, яка отримується послідовним додаванням даних матриць, тобто .

Аналогічно визначається для .

Приклад 1.1. Знайти суму , якщо

.

Розв’язок.

. t

Множення матриці на число. Добутком матриці на число (або числа на матрицю ) називається матриця така, що .

Добуток матриці на число позначається або .

Приклад 1.2. Знайти добуток матриці

на число .

Розв’язок.

. t

Матриця називається протилежною до матриці .

Різницю матриць можна визначити як .

Операції додавання матриць і множення матриці на число називають лінійними операціями над матрицями імають наступні властивості:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ,

де А, В, С, О – матриці, – числа.

Множення матриць. Операція множення двох матриць вводиться тільки для випадку, коли число стовпців першої матриці рівне числу рядків другої матриці. Такі матриці називаються узгодженими.

Добутком матриці на матрицю називається матриця така, що , де , тобто елемент і -го рядка і - го стовпчика матриці дорівнює сумі добутків елементів і -го рядка матриці на відповідні елементи - го стовпчика матриці .

Приклад 1.3. Знайти добуток , якщо

.

Розв’язок.

. t

Якщо А і В квадратні матриці одного порядку, то добутки АВ і ВА завжди існують. Якщо , то матриці А і В називаються перестановочними.

Якщо матриця узгоджена з матрицею , а матриця узгоджена з матрицею , то під добутком трьох матриць розуміємо матрицю, отриману послідовним множенням даних матриць, тобто – .

Операція множення матриць має властивості:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ,

де А, В, С – матриці, – одинична та нульова матриці відповідно, – число.

Елементарні перетворення матриць. Елементарними перетвореннями матриць є наступні перетворення:

1) множення деякого рядка або стовпця матриці на число відмінне від нуля;

2) додавання до одного рядка або стовпця матриці іншого рядка або стовпця, помноженого на довільне число;

3) перестановка місцями двох рядків або стовпців матриці.

Дві матриці і називаються еквівалентними, якщо одна з них отримується з іншої за допомогою елементарних перетворень і позначаються .

Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 837; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!