Отображения. Инъективные и сюръективные отображения

1. Пусть f: R R задано формулой f(x) = x²-1 (рис.3). Определить, является ли отображение f инъективным, сюръективным, биективным.

Область определения функции – R, область значений функции –
[-1;+ ).

1. f – отображение. Если (х,у) f и (х,z) f, то y = z, так как (x,y) f, т.е. y = x²-1, (x,z) f, т.е. z = x²-1.

2. Найдутся х₁, х₂ R, такие что х₁ х₂, но: f(x₁) = f(x₂), например, пусть х₁ = 1, х₂ = -1, тогда f(x₁) = 0 и f(x₂) = 0, т.е. х₁ х₂, а f(x₁) = f(x₂). Таким образом, это неинъективное отображение.

3. Так как область значений функции [1;+ ) не совпадает с R, то отображение несюръективно.

2. Пусть f: R R задано формулой f(x) = x⁴. Является ли отображение инъективным, сюръективным?

1. Поскольку х₁=2 R, х₂ = -2 R, f(2) = f(-2) = 16, т.е. х₁ х₂, а f(x₁) = f(x₂), то отображение неинъективно.

2. Для любого x R не существует f(х), такого что f(х) = -16, так как х⁴ -16, поэтому отображение несюръективно.

3. Пусть отображение f: [0;+ ) [0;+ ) задано формулой f(x)=x². Является ли оно инъективным, сюръективным?

1. Для любых х₁, х₂ [0;+ ), х₁ х₂, f(x₁)=x₁², f(x₂)=x₂², но f(x₁) f(x₂), т.е для каждого х существует единственное f(x), следовательно, f(х) - инъективное отображение.

2. Для каждого значения f(x) [0;+ ) найдётся х [0;+ ), поэтому f(х) - сюръективное отображение.

из 1. и 2. следует, что отображение биективно.