Множественная регрессия

4.

3.

2.

1.

К регрессиям, нелинейным по переменным относят полиномы различных степеней.:

(1)

, (2)

равносторонняя гипербола , (3)

функции вида (4)

Нелинейность по переменным устраняется путем замены переменной. Так в регрессии (1) сделаем замену х=х₁, х²=х₂ и получим двухфакторную линейную регрессию.

В уравнении (3) замена переменной имеет вид: , а в (4) - .

Применение метода МНК для оценки коэффициентов соответствующих выборочной регрессии приводит к следующим системам уравнений. Для регрессии (!):

(5).

Для равносторонней гиперболы система уравнений имеет вид:

(6)

Для уравнения (4):

(7)

Приведем некоторые примеры использования уравнений (1-4) в экономике:

1. Полином третьей степени уравнения (2) часто моделирует зависимость общих издержек У от объема выпуска Х. график имеет вид:

2. Полином второй степени (уравнение (1)) парабола может описать зависимость между объемом выпуска Х и средними (либо предельными) издержками У

3. Гипербола (3) (обратная модель) применяется в тех случаях, когда неограниченное увеличение объясняющей переменной Х асимптотически приближает зависимую переменную У к некоторому пределу. Если а и в - оценки параметров гиперболы соответственно, то в зависимости знаков а и в возможны следующие ситуации:

рис.1 рис.2 рис.3

График на рисунке 1 может отражать зависимость между объемом выпуска Х и средними фиксированными издержками У. график на рисунке 2 может описывать зависимость между доходом Х и спросом на блага У. Такие функции называются функциями Тронквиста. Важным приложением графика на рисунке 3 является кривая Филипса, отражающая зависимость между уровнем безработицы Х (%) и процентным изменением заработной платы У.

4. Уравнения с квадратными корнями (4) использовались в исследовании урожайности и трудоемкости с/х производства.

Пример 1:

На основании информации о норме безработицы и темпах инфляции (таблица 1) построить:

1. диаграмму рассеяния.

2. уравнение регрессии, описывающее зависимость темпов инфляции от нормы безработицы.

Таблица 1

Строим диаграмму рассеяния:

Из диаграммы рассеяния видно, что зависимость можно описать гиперболой . Сделаем замену переменных и уравнение регрессии примет вид:

Обратимся в Excel к программе регрессия и введем данные z_i, , получим:

Замечание:

Для оценки коэффициентов гиперболы можно построить систему уравнений (6) и решить ее.

К нелинейным по параметрам регрессиям относятся:

степенная: , (8)

показательная , (9)

экспоненциальную . (10)

Нелинейные по параметрам регрессии сводятся к линейным путем логарифмирования.

(8’)

(9’)

(10’)

Для нахождения оценок соответствующих коэффициентов выборочных регрессии для (8’), (9’),(10’) используется МНК при условии, что распределен нормально.

Пример 2:

В таблице 2 приведены данные о расходах на питание и доходах 5 групп населения. Построить степенную регрессию, описывающую зависимость расходов на питание У от доходов населения Х.

Таблица 2

№	Доходы, х	Расходы, у
			1,69 1,79 2,3 2,6 2,9	0,69 1,39 2,4 2,48

Степенная регрессия имеет вид:

Получим линейное уравнение. Обратимся к программе «Регрессия», введем данные столбцов v и z, получим:

(11)

Выполним обратные преобразования (пропотенцируем полученное уравнение):

Замечание:

Для построения регрессии (11) можно воспользоваться формулами (8) темы 2.

Уравнение нелинейной регрессии также как и линейной дополняются показателями корреляции и детерминации. Для оценки тесноты связи между переменными рассчитывается индекс корреляции:

(12)

Индекс корреляции (R) меняется от 0 до 1. чем ближе R к 1, тем сильнее нелинейная связь между переменными. Величина

(13)

используется для оценки качества уравнения регрессии. Для проверки значимости индекса детерминации используется F-статистика

n – объем выборки

m – число параметров при независимых переменных.

Так для параболы m=2, а для степенной функции m=1

В экономическом анализе часто используется эластичность функции. Эластичность функции рассчитывается как относительное изменение у к относительному изменению х:

(15)

Эластичность показывает, насколько процентов изменяется функция при изменении независимой переменной на 1 %.

Для степенной функции эластичность представляет собой постоянную величину, равную в, действительно:

В примере 2 степенная регрессия описывает зависимость расходов на питание от доходов. Коэффициент 0,35 экономического смысла не имеет, а коэффициент в, равный 1,183, показывает, что увеличение личного дохода на 1% приведет к увеличению расходов на питание в среднем на 1,183%.

Для остальных функций эластичность не является постоянной величиной. Так для линейной функции эластичность , т.е. эластичность зависит от х, поэтому для остальных функций вычисляется средний показатель эластичности, в частности для линейной функции по формуле:

(16)

Рассчитаем коэффициент эластичности в примере 1 темы 2:

Можно утверждать, что с увеличением расходов на новое оборудование на 1%, прибыль предприятия возрастет на 1,29%.

Тема 4:

Вопросы:

1. Оценка параметров линейной модели множественной регрессии.

2. Оценка качества множественной линейной регрессии.

3. Анализ и прогнозирование на основе многофакторных моделей.

Множественная регрессия является обобщением парной регрессии. Она используется для описания зависимости между объясняемой (зависимой) переменой У и объясняющими (независимыми) переменными Х₁,Х₂,…,Х_k. Множественная регрессия может быть как линейная, так и нелинейная, но наибольшее распространение в экономике получила линейная множественная регрессия.

Дата добавления: 2014-11-18; Просмотров: 1107; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!