Транспонирование матриц

Определение 1.9. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной относительно данной.

Матрицу, транспонированную относительно матрицы A, обозначают A^Т. Таким образом, если

, то (1.5)

Отмети, что если A – матрица размера m ´ n, то матрица A^Т имеет размер n ´ m. Операция нахождения матрицы, транспонированной к данной, называется транспонированием матрицы.

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Квадратной матрице A порядка n можно сопоставить число (или , или ), называемое ее определителем.

Для матрицы первого порядка, т.е. , определителем будет .

Определение 2.1. Определителем 2-го порядка матрицы называется число, записанное в виде квадратной таблицы и вычисляемое, согласно указанному правилу

. (2.1)

Пример 2.1. Найти определители 2-го порядка: .

,

Определение 2.2. Определителем 3-го порядка матрицы называется число, записанное в виде квадратной таблицы и вычисляемое, согласно указанному правилу

(2.2)

Заметим, что каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца. Этому произведению приписывается соответствующий знак. Чтобы помнить, какие произведения следует брать со знаком плюс, какие – со знаком минус, можно пользоваться правилом, схематически изображенным на рисунке.

«+» «-»

Пример 2.2. Найти определитель 3-го порядка.

.

,

Правило, по которому находиться определитель 3-го порядка (определение 2.2.), называется правилом треугольника (правило Саррюса). Но для более удобного вычисления определителя 3-го порядка можно применить правило приписывания к определителю справа первых двух ее столбцов.

«-» «-» «-» «+» «+» «+»

Определитель матрицы A также называют детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы n -го порядка является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда, который рассмотрим несколько позже. При этом заметим, что определители невысоких порядков (1-го, 2-го и 3-го) желательно вычислять согласно определению.

Определение 2.3. Минором M_ij некоторого элемента называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Например, для определителя минор элемента будет , а минор элемента будет . Для определителя 2-го порядка минор элемента будет .

Определение 2.4. Алгебраическим дополнением A_ij некоторого элемента называется его минор, взятый со знаком , т.е.

. (2.3)

Например, для определителя алгебраическое дополнение элемента будет , а алгебраическое дополнение элемента будет .

Каждый определитель состоит из строк и столбцов. В дальнейшем строки и столбцы будем называть рядами определителя.

Дата добавления: 2014-11-18; Просмотров: 942; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!