Эквивалентные б.м. и б.б. функции

I Сравнение б.м. и б.б. функций

Пусть и - пара б.м. или б.б. функций при .

Определение 1. Если , то говорят, что при :

1) б.м. имеет более высокий порядок малости, чем б.м. ;

2) б.б. имеет более низкий порядок роста, чем б.б. .

В обоих случаях пишут: “ при ”.

Примеры.

1. при , ибо .

2. при , ибо .

Отсюда получим, например,

, .

3. Известная цепочка соотношений (, ) озна- чает, что при

, .

Замечание 1. Грубо говоря, соотношение означает, что б.м. стремится к 0 быстрее, чем б.м. , а б.б. стремится к медленнее, чем б.б. .

Определение 2. Если , то говорят, что бесконечно малые и имеют одинаковый порядок малости, а бесконечно большие и - одинаковый порядок роста при .

Определение 3. Если не существует, то б.м. или б.б. и называют несравнимыми.

Примером несравнимых б.м. (при ) служат функции

и .

II Эквивалентные функции: два определения

Определение 4. Если , то пару б.м. или б.б. функций и называют эквивалентными при и пишут: при .

Примерами эквивалентных б.м. при служат , , .

Приведем несколько свойств символа ~:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Замечание 2. Для упрощения применения эквивалентностей удобно пару любых функций называть эквивалентными, если предел их отношения равен 1 (иногда уточняют: «эквивалентные в широком смысле»).

Для б.м. функций можно дать еще одно определение эквивалентности (равносильное определению 4).

Определение 5. Бесконечно малые функции эквивалентны, если их разность есть б.м. более высокого порядка малости, чем каждая из них:

и .

III Таблица эквивалентностей

При :

1) ; 2) ; 3) ;

3) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) .

Кроме этих формул используются еще такие:

14) многочлен на эквивалентен старшему члену, а в нуле - младшему;

15) при , если только и ;

16) , при (, );

17) при .

Часть этих формул была получена в §10. Выведем еще несколько других:

5) ;

10) ;

13) ;

15) Пусть , Тогда , т.е.

(в широком смысле).

IV Использование эквивалентностей для вычисления пределов

Теорема. Пусть , а при . Если , то и .

Доказательство.

.

Практический вывод. При вычислении пределов частных и произведений функций каждую из них можно заменить эквивалентной.

Примеры.

4.

.

Здесь были использованы эквивалентности для синуса, логарифма, арктангенса, степенной функции и выражения типа многочлена (алгебраической суммы степеней переменной с неотрицательными показателями, а не только натуральными, как в обычном многочлене).

5. Вычислим предел . Используя основное логариф-мическое тождество, свойство логарифма степени и непрерывность функции , получим:

.

Выведем нужную здесь формулу эквивалентности при :

.

Итак, .

6. Приведем ряд примеров «подгонки» под табличную форму эквивалент-ности:

при ;

при ;

при .

Замечание-предостережение. Использовать эквивалентности (в указанной форме ) в суммах, разностях функций и под знаками функций, вообще говоря, нельзя. Исключение составляет степенная функция, т.е., если , то , .

Однако, существует другая форма эквивалентностей, которую можно использовать везде. Эту форму рассмотрим в следующей части параграфа.

V Асимптотические формулы

В силу второго определения эквивалентности соотношения равносильно или . Таким образом, таблицу эквивалентностей можно записать в форме т.н. асимптотических формул. Приведем лишь некоторые из них. Все остальные студенты должны уметь выводить самостоятельно.

Итак, при :

, ,

, ,

, .

Эти асимптотические формулы можно применять в суммах, разностях и под знаками функций. Однако, не всегда они дают ответ на поставленный вопрос.

Примеры.

7.

.

Здесь использован тот факт, что по определению символа имеем: .

8. = – частное бесконечно малых может быть любым. Такая ситуация означает, что соответствующая асимптотическая формула недостаточно точная. В теме «Формулы Тейлора и Маклорена» будут даны уточнения:

, .

Задача. Вычислить пределы:

а) ; б) .

Лекция 7

Дата добавления: 2014-11-08; Просмотров: 3857; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!