Основные теоретические сведения. Применение критерия Колмогорова

Применение критерия Колмогорова

Практическая работа № 9

Исходные данные

Окончание табл. 32

Ц е л ь р а б о т ы: проверить согласие опытного и теоретического распределения случайной величины с применением критерия Колмогорова..

Н е о б х о д и м о е о б о р у д о в а н и е: микрокалькулятор; таблица исходных данных.

Проверка согласия опытного и теоретического распределения случайной величины х заключается в получении упорядоченного ряда результатов наблюдений этой величины:

построении на основе их функции накопленных частостей и сравнении этой функции с теоретическим законом распределения.

Исследуемая совокупность должна быть однородной, т.е. наблюдения случайной величины х должны проводиться в одинаковых условиях.

Если число наблюдений случайной величины х больше 100, то для проверки согласия опытного распределения с теоретическим применяют критерий Колмогорова и критерий λ², если число наблюдений случайной величины х больше 50, то для проверки согласия опытного распределения с теоретическим применяют критерий ω².

Широкое применение при оценке распределения случайной величины получил нормальный закон (закон Гаусса). Этот закон хорошо описывает распределение случайной величины, на изменение которой влияет большое число факторов, равнозначных по величине.

Функция плотности нормального распределения:

(104)

где е – основание натурального логарифма; σ – среднее квадратическое отклонение; – среднее арифметическое значение случайной величины х, полученное путем деления суммы результатов наблюдений на общее число наблюдений:

(124)

где х₁,…, х_N – значения, полученные в результате измерения случайной величины; N – общее число значений величины х.

Среднее арифметическое значение характеризует центр группировки значений случайной величины х.

В случае , имеем нормированное и центрированное распределение, плотность которого табулирована [15].

Интегральная функция нормального распределения:

(105)

Для нормированного и центрированного распределения имеем табулированную функцию Ф(t), называемую интегралом вероятностей:

(106)

Значения F₀(x) представлены в табл. 1.2 [15].

Из уравнения (106) следует, что:

(107)

Из уравнений (105) и (106) получаем:

. (108)

Если наработка х до отказа приближенно распределена по нормальному закону, то вероятность отсутствия отказа на промежутке от 0 до х находится по уравнению:

(109)

Интенсивность отказов:

(110)

где – табулированная функция 1.4 [15].

Выборочная дисперсия:

(111)

При оценке справедливости гипотезы о виде закона распределения случайной величины по критерию Колмогорова строят эмпирическую функцию распределения и теоретическую функцию предполагаемого закона распределения. Гипотезу проверяют с помощью величины D, определяемой по результатам наблюдений и выражающей наибольшее абсолютное расхождение между эмпирической и теоретической функциями распределения.

Применение критерия согласия Колмогорова на практике осложняется следующими обстоятельствами. Для сопоставления функций опытного и теоретического распределений необходимо знать значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения наблюдаемой случайной величины, которые обычно неизвестны.

Использование вместо этих неизвестных значений их оценок и σ при малом числе наблюдений (или при большом числе наблюдений, сгруппированных в малом числе интервалов) может привести к ошибочным выводам при проверке согласия опытного и теоретического распределений. В случае проверки нормальности распределения эту трудность можно решить сопоставлением функции опытного распределения величин () с функцией распределения Стьюдента. Однако при малом числе наблюдений результативность применяемого критерия будет небольшой, а при большом числе наблюдений распределение Стьюдента сходится к нормальному, причем и σ становятся достаточно близкими к их математическим ожиданиям. Таким образом, при большом количестве наблюдений применение критерия Колмогорова не вызывает каких-либо осложнений.

Значение:

(112)

где F_N(x) и F(x) – эмпирическая и теоретическая функции закона распределения соответственно.

Величина:

(113)

Задают доверительную вероятность:

(114)

того, что отклонение функции опытного распределения от теоретического будет меньше величины λ _N, установленной для доверительной вероятности γ.

Значение, соответствующее этой доверительной вероятности, находят по табл. 33.

Таким образом, проверяют соответствие эмпирического закона выбранному теоретическому закону распределения.

Дата добавления: 2014-11-18; Просмотров: 376; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!