Решение типовых задач. Формула полной вероятности

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Тема 3

Необходимо ввести и точно определить гипотезы и итоговое событие , указать вероятности гипотез и условные вероятности события при наступлении каждой гипотезы . При этом совокупность гипотез должна образовывать полную группу событий, поэтому сумма их вероятностей равна 1: .

Задача 1. На сборку поступают детали с 3 станков-автома­тов, производительности которых относятся как 2:3:5. Брак в их продукции составляет 2%, 1%, 3% соответственно. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь из общей продукции автоматов стандартная.

Решение. Пусть событие состоит в том, что наудачу взятая деталь из общей продукции автоматов стандартная. Это событие происходит совместно с одной из гипотез , состоящих в том, что деталь с i -го автомата. Вероятности этих гипотез:

; ; .

Гипотезы образуют полную группу событий, сумма их вероятностей равна 1.

Условные вероятности интересующего нас события равны:

; ; .

Искомую вероятность события найдем по формуле полной вероятности, которая в нашем случае запишется так:

.

Получаем окончательно

.

Задача 2. Наборщик типографии использует 2 набора шрифтов одинакового объема, при этом в 1-м из них 80%, а во 2 – 70% высококачественного шрифта. Наудачу извлеченная литера из наудачу взятого набора оказалась высококачественной. Найти вероятность того, что эта литера взята из 2-го набора.

Решение. Событие – наудачу взятая литера высококачественная. Как и в предыдущей задаче, оно происходит совместно с одной из гипотез – литера с i -го набора – вероятности которых . Гипотезы и образуют полную группу событий.

По условию , . Требуется найти вероятность , т.е. переоценить вероятность гипотезы при условии, что событие уже наступило. Используем формулу Байеса

,

где – формула полной вероятности.

В данном случае .

Дата добавления: 2014-11-18; Просмотров: 4079; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!