Арифметические операции в двоичной и кратных ей системах счисления

Арифметические операции в позиционных системах счисления производится по единому алгоритму. Так, сложение двоичных чисел происходит по классическому алгоритму «столбиком» с переносом числа, кратного двум, единицей в следующий разряд.

Рассмотрим этот алгоритм на примере двух двоичных чисел 1010101₂ и 110111₂:

Результат сложения выглядит как 10001100₂. Проверим результат сложения, для чего переведем все числа в десятичную систему счисления:

1010101₂=85₁₀, 110111₂=55₁₀, 10001100₂=140₁₀, 85₁₀+55₁₀=140₁₀.

Двоичная система, являющаяся основой компьютерной арифметики, весьма громоздка и неудобна для использования человеком. Поэтому используют две кратные двоичной системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную. В случае шестнадцатеричной системы арабских цифр не хватает, и в качестве цифр используются первые шесть заглавных букв латинского алфавита. Примеры записи натуральных чисел от 1 до 16 в четырех системах счисления помещены в Таблице 1.

Таблица 2. Примеры записи натуральных чисел от 1 до 16 в четырех системах счисления

Из Таблицы 1 видно, что в двоичной системе запись чисел второй восьмерки (от 8 до 15) отличается от записи первой восьмерки (от 0 до 7) наличием единицы в четвертом (справа) разряде. На этом основан алгоритм перевода двоичных чисел в восьмеричные «по триадам». Для применения этого алгоритма надо разбить двоичное число на тройки цифр (считая справа) и записать вместо каждой из троек восьмеричную цифру:

10101101₂ → 10 101 101 → 255₈.

2 5 5

Крайняя левая тройка может быть неполной (как в примере), для получения полных троек можно приписать слева недостающие нули.

Убедимся в правильности алгоритма:

10101101₂ → 1*2⁷+1*2⁵+1*2³+2*2¹+1*2⁰=173₁₀;

255₈ →2*2⁶+5*2³+5*2⁰=173₁₀.

Для перевода чисел из восьмеричной системы в двоичную используется обратный алгоритм: восьмеричные цифры заменяются на тройки двоичных цифр (при необходимости слева дописываются недостающие нули):

325₈ → 3 2 5 → 11 010 101 → 11010101₂.

011 010 101

Для перевода чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную используется алгоритм «по тетрадам». Строка двоичных цифр разбивается на четверки и вместо них записываются шестнадцатеричные цифры:

10101101₂ → 1010 1101 → AD₁₆.

А D

Аналогично работает и обратный алгоритм: вместо шестнадцатеричных цифр подставляются четверки двоичных цифр.

Из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и обратно проще переводить через двоичную систему:

D5₁₆→ D 5 →1101 0101 → 11010101₂ → 11 010 101 → 325₈.

D 5 3 2 5

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же правилам. Для проведения арифметических операций над числами, представленными в различных системах счисления, необходимо предварительно преобразовать их в одну систему счисления и учесть то, что перенос в следующий разряд при операции сложения и заем из старшего разряда при операции вычитания определяется величиной основания системы счисления. Лучше всего пользоваться той системой, в которой должен быть представлен результат.

Арифметические операции в двоичной системе счисления основаны на таблицах сложения, вычитания и умножения одноразрядных двоичных чисел.

При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос единицы в старший разряд, при вычитании 0–1 производится заем из старшего разряда, в таблице «Вычитание» этот заем обозначен 1 с чертой над цифрой.

Пример. Сложить числа:

а) 10000000100₍₂₎+ 111000010₍₂₎= 10111000110₍₂₎;

б) 223,2₍₈₎+ 427,54₍₈₎ = 652,74₍₈₎;

в) 3В3,6₍₁₆₎+38В,4₍₁₆₎=73Е,А(16).

Пример. Выполнить вычитание:

а) 1100000011,011₍₂₎ - 101010111,1₍₂₎ = 110101011,111₍₂₎;

б) 1510,2₍₈₎ - 1230,54₍₈₎ = 257,44₍₈₎;

в) 27D,D8₍₁₆₎ - 191,2₍₁₆₎ = ЕС,В8₍₁₆₎.

Пример. Выполнить умножение:

а) 100111₍₂₎·1000111₍₂₎ = 101011010001₍₂₎;

б) 1170,64₍₈₎·46,3₍₈₎ = 57334,134₍₈₎;

в) 61,А₍₁₆₎·40,D₍₁₆₎ = 18В7,52₍₁₆₎.

Задания

Задание 1. Переведите числа в 2-ую систему счисления.

Задание 2. Переведите числа в 8-ую систему счисления.

Задание 3. Переведите числа в 10-ую систему счисления.

Задание 4. Переведите числа в 16-ую систему счисления.

Задание 5. Записать результат сложения двух чисел в 2-ой системе счисления.

Задание 6. Записать результат сложения двух чисел в 10-ой системе счисления.

Задание 7. Записать разность двух чисел в 8-ой системе счисления.

Задание 8. Записать разность двух чисел в 16-ой системе счисления.

Задание 9. Записать результат умножения двух чисел в 2-ой системе счисления.

Задание 10. Записать результат умножения двух чисел в 10-ой системе счисления.

Контрольные вопросы

1. Какие системы счисления называют позиционными, а какие — непозиционными? Приведите примеры.

2. Что называется основанием системы счисления?

3. Почему для вычислительной техники особенно важна система счисления по основанию 2?

4. Почему произошел переход от двоичных к шестнадцатеричным обозначениям в архитектуре ЭВМ?

5. Какие способы перевода целых десятичных чисел в двоичные и обратно Вы знаете?

6. Каковы правила выполнения арифметических операций над числами в двоичном представлении?

7. Как переводить целые числа из двоичного представления в восьмеричное и шестнадцатеричное представления и обратно?

8. Какое двоичное представление отрицательных целых чисел используется в вычислительной технике?

9. Дайте определение системы счисления. Назовите и охарактеризуйте свойства системы счисления.

10. Какие символы используются для записи чисел в двоичной системе счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной?

Дата добавления: 2014-11-08; Просмотров: 1803; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!