Вынужденные колебания при наличии сопротивления

Рассмотрим движение точки М массой m, на которую действуют: восстанавливающая сила , сила сопротивления , пропорциональная первой степени скорости, а возмущающая сила (рис. 5.5). Дифференциальное уравнение движения точки М будет:

Рис. 5.5

Спроектируем это векторное уравнение на ось ох, получим:

, (5.17)

Так как ; , , то

, (5.18)

разделив обе части уравнения на массу, получим:

, (5.19)

Введя обозначения: ; ; , получим

, (5.20)

Это дифференциальное уравнение неоднородное второго порядка, решение его ищем в виде:

, (5.21)

где – общее решение однородного дифференциального уравнения.

– частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Соответствующее однородное уравнение имеет вид:

, (5.22)

Для его решения составим характеристическое уравнение:

, (5.23)

Найдем корни этого квадратного уравнения:

.

При решение представлено равенством (4).

, (5.24)

где , постоянные и определяются по начальным условиям.

Частное решение ищем в виде:

, (5.25)

где и – постоянные, при которых уравнение (1) становится тождеством. Вычисляя производные , и подставляя их в уравнение (5.23) получим:

; .

Отсюда следует, что постоянные и не зависят от начальных условий. Угол характеризует сдвиг фаз между вынужденными колебаниями и возмущающей силой.

Решение уравнения (5.23) можно представить в виде:

. (5.26)

Видно, что решение (4) состоит из собственных колебаний (первое слагаемое) и вынужденных (второе слагаемое).

Собственные колебания являются затухающими.

На рис. 5.6 представлены: 5.6 а – собственные затухающие колебания; 5.6б – вынужденные колебания; 5.6 в – результирующее колебание.

а) б) в)

Рис. 5.6

Задача 5.2 (32.88)

На пружине, коэффициент жесткости которой г/см, подвешены магнитный стержень весом 50 г, проходящий через соленоид и медная пластинка весом 50 г, проходящая между полюсами магнита. По соленоиду течет ток ампер и развивает силу взаимодействия с магнитным стержнем дин. Сила торможения медной пластинки, вследствие вихревых токов равна , где , единиц CGS и – скорость пластины. Определить вынужденные колебания пластинки.

Решение

а) б)

Рис. 5.7

На рис. 5.7 а) схематично представлено условие задачи. Стержень силой тяжести и пластину силой тяжести представим как материальную точку силой тяжести . На рис. 5.7 б) она представлена материальной точкой С массой , где и – массы соответственно стержня и пластины.

На материальную точку С действуют: – сила тяжести, – сила упругости пружины, – сила взаимодействия магнитного стержня и соленоида, – сила торможения вследствие вихревых токов.

, где – статическое отклонение, равное ; , так как , то: .

, где , , учитывая, что , то: .

Составим уравнение второго закона Ньютона для материальной точки С, находящаяся под действием сил , , , :

. (1)

Спроектируем векторное уравнение (1) на ось х:

.

Учитывая, что и подставляя выражения сил, получим:

. (2)

После преобразования дифференциального уравнения (2), получим:

. (3)

Обозначим , , ;

, ;

, (м/с²).

По условию задачи частота возмущающей силы равна . Подставив полученные обозначения в уравнение (3), получим:

. (4)

Уравнение вынужденных колебаний будем искать в виде:

, (5)

где – амплитуда вынужденных колебаний, равная

, (6)

. (7)

Подставив численные значения в выражения (6) и (7), получим:

(см)

см.

или .

Подставив полученные значения в уравнение (4), получим:

, см.

Ответ: вынужденные колебания пластины –

см.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое вынужденные колебания?

2. Что такое явление резонанса?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 32.75. – 32.101. [3].

Литература: [1] – [5].

Дата добавления: 2014-11-26; Просмотров: 1444; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!