КАТЕГОРИИ:

Главная
Случайная страница
Познавательное
Новые статьи
Контакты
Заказать работу

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Тема: оцінки похибок інтерполювання за формулами Ньютона для рівновіддалених вузлів

⇐ Предыдущая 14 15 16 171819 20 21 22 23 Следующая ⇒

Лабораторна робота 13.

Завдання.

Контрольні питання.

Інтерполяція за допомогою поділених різниць є досить ефективною. Навіщо виникли скінчені різниці?
Визначте скінчені різниці порядку n.
Який нижній індекс у скінченої різниці порядку n, що дорівнює Δ^{n-1 f}_{i +1} – Δ^{n-1 f}_i?
Яку таблицю називають горизонтальною таблицею скінчених різниць?
Яку інтерполяційну формулу називають першою інтерполяційною формулою Ньютона?
За якої умови доцільно використовувати першу інтерполяційну формулу Ньютона?
Яку інтерполяційну формулу із скінченими різницями доцільно використовувати, якщо значення х лежить ближче до кінця відрізкаінтерполювання?
Яку таблицю називають діагональною таблицею скінчених різниць?

Задача. Для функції f, заданої таблицею

Варіант 1.

i
x_i		0,2	0,4	0,6	0,8
y_i	0,837248	1,551809	2,057963	1,7613	1,865629

Варіант 2.

i
x_i		0,2	0,4	0,6	0,8
y_i	0,021591	0,907299	0,640215	0,786288	0,99863

Варіант 3.

i
x_i		0,2	0,4	0,6	0,8
y_i	0,021591	0,907299	0,640215	0,786288	0,99863

Варіант 4.

i
x_i		0,2	0,4	0,6	0,8
y_i	3,42123	11,82245	43,81604	13,19714	3,935351

Варіант 5.

i
x_i		0,2	0,4	0,6	0,8
y_i	0,979908	0,532535	0,59592	0,622234	0,958016

Варіант 6.

i
x_i		0,2	0,4	0,6	0,8
y_i	0,837248	1,551809	2,057963	1,7613	1,865629

Варіант 7.

i
x_i		0,2	0,4	0,6	0,8
y_i	0,021591	0,907299	0,640215	0,786288	0,99863

Варіант 8.

i
x_i		0,2	0,4	0,6	0,8
y_i	0,979908	0,532535	-0,59592	0,622234	0,958016

Варіант 9.

i
x_i		0,2	0,4	0,6	0,8
y_i	3,42123	11,82245	43,81604	13,19714	3,935351

Варіант 10.

i
x_i		0,2	0,4	0,6	0,8
y_i	0,837248	1,551809	2,057963	1,7613	1,865629

1. Знайти її скінчені різниці

Варіант	скінчені різниці
	Δ²у₂, Δ³у₁, Δ⁵у₁
	Δ¹у₃, Δ⁴у₃, Δ³у₁
	Δ²у₃, Δ⁰у₃, Δ³у₃
	Δ⁴у₂, Δ⁵у₁, Δ³у₂
	Δ²у₃, Δ⁴у₃, Δ⁴у₀
	Δ¹у₁, Δ²у₂, Δ³у₃
	Δ⁰у₂, Δ¹у₃, Δ²у₄
	Δ¹у₃, Δ³у₁, Δ²у₂
	Δ²у₃, Δ⁴у₃, Δ⁵у₀
	Δ²у₃, Δ¹у₂, Δ⁰у₁

2. Знайти наближені значення функції в точках x₁* = 0,1 і x₂* = 0,7.

Література:

Бахвалов Н.С. Численные методы – М: Наука, 1973. т. 1. – 631с.
Вейцбліт О.Й. Основи чисельних методів математики (з використанням Excel) – Херсон: Видавництво ХДУ, 2011. – 280 с.
Лященко М.Я., Головань М.С., Чисельні методи – К: Либідь, 1996 – 288с.

(2г.)

Мета: Отримати відомості про методи обчислення похибок інтерполювання за

формулами Ньютона та навчитися застосовувати ці методи до конкретних задач.

Теоретичні відомості.

Нехай вузли інтерполяції х_k = х₀ + kh, де h – дійсна стала, k = 0, 1, …, n, y_k = f (х_k), відповідна перша інтерполяційна формула Ньютона

f (x) ≈ L_n(x) = y₀ + tΔу₀ + Δ²у₀ + … + Δⁿу₀, (1)

друга інтерполяційна формула Ньютона

f (x) ≈ L_n(x) = y_n + tΔу_n-1 + Δ²у_n-2 + … + Δⁿу₀, (2)

де t = (х – х_n)/h. Тоді виконується така

Теорема. Якщо функція f (x) n + 1 раз неперервно диференційовна, то залишковий член (похибка інтерполяції) R_n(f, x) = f (x) – L_n(x) першої інтерполяційної формули Ньютона дорівнює

R_n(f,x) = hⁿ⁺¹t(t –1)(t – 2)…(t – n) ≈ t(t – 1)(t – 2)…(t – n) (х₀ ≤ ξ ≤ х_n). (3)

Для другої інтерполяційної формули Ньютона залишковий член R_n(f, x) дорівнює

R_n(f, x) = hⁿ⁺¹t(t +1)(t + 2)…(t + n) ≈ t(t +1)(t + 2)…(t + n) (х₀≤ ξ ≤ х_n). (4)

Хід роботи.

Задача. 1. Для функції f, заданої таблицею

i
x_i	0,2	0,4	0,6	0,8		1,2
y_i	0,1974	0,3805	0,5404	0,6747	0,7854	0,8761

знайти наближені значення функції в точках x₁* = 0,1 і x₂* = 1,1.

2. Оцінити похибку інтерполяції, якщо вважати, що функція f (x) 9 разів неперервно диференційовна і до заданої таблиці ще додано значення функції f (1,4) = 0,9505.

Розв’язання. Перша частина задачі вже була розв’язана у задачі 2 лабораторної роботи 12. Тут залишилося оцінити похибки інтерполяції отриманих там наближень f (0,1) ≈ L₆(0,1) ≈ 0,099619 і f (1,1) ≈ L₆(1,1) ≈ 0,8330.

Згідно з (3) похибка інтерполяції R₆(f,x) за першою інтерполяційною формулою Ньютона це R₆(f,x) = f (x) – L₆(x) ≈ t(t – 1)(t – 2)…(t – 7). Це останній одночлен u₇(x) першого інтерполяційного многочлена Ньютона L₇(x). Отже, для отримання похибки інтерполяції необхідно просто продовжити таблиці задачі 2 лабораторної роботи 12 ще на один вузол:

A	B	C	D	E	F	G	H	I

		= B3 – B2	→	→	→	→	→	→
	0,1974	↓	↓	↓	↓	↓	↓
	0,3805	↓	↓	↓	↓	↓
	0,5404	↓	↓	↓	↓
	0,6747	↓	↓	↓
	0,7854	↓	↓
	0,8761	↓
	0,9595

В результаті отримаємо таку трикутну таблицю:

A	B	C	D	E	F	G	H	I

		0,1974	-0,01428	-0,00891	0,006519	-0,0022	-0,00038	0,001386
	0,1974	0,183111	-0,0232	-0,00239	0,004321	-0,00258	0,001001
	0,3805	0,159913	-0,02559	0,001927	0,001739	0,00158
	0,5404	0,134321	-0,02366	0,003667	0,000159
	0,6747	0,110657	-0,02	0,003826
	0,7854	0,09066	-0,01617
	0,8761	0,074489
	0,9505

Побудуємо таблицю для підрахунку L₇(x₁*) таку ж, як у лабораторній роботі 12:

A	B	C	D	E	F	G	H	I
k
t-k	0,5	= 0,5 – C11	→	→	→	→	→	→
t…(t-k+1)		= B13*B12	→	→	→	→	→	→
k!		= B14*C11	→	→	→	→	→	→
u_k(x₁*)	= B2*B13/B14	→	→	→	→	→	→	→
L_k(x₁*)	= СУММ($B$15:B15)	→	→	→	→	→	→	→

В результаті отримаємо таку таблицю:

A	B	C	D	E	F	G	H	I
k
t-k	0,5	-0,5	-1,5	-2,5	-3,5	-4,5	-5,5	-6,5
t*…(t-k+1)		0,5	-0,25	0,375	-0,9375	3,28125	-14,7656	81,21094
k!
uk(x1*)		0,098698	0,001786	-0,00056	-0,00025	-6E-05	7,89E-06	2,23E-05
Lk(x1*)		0,098698	0,100483	0,099926	0,099672	0,099612	0,099619	0,099642

Похибка інтерполяції R₆(f,x) ≈ u₇(x) міститься у чарунці I15: R₆(f,x) ≈ 2,23∙10^-5. Отже, наближення f (0,1) ≈ L₆(0,1) ≈ 0,099619 отримане тут з табличною точністю п’яти вірних значущих цифр.

Аналогічно похибка інтерполяції R₆(f,x) за другою інтерполяційною формулою Ньютона це R₆(f,x) = f (x) – L₆(x) ≈ t(t +1)(t + 2)…(t + n) = u₇(x) згідно з (3). Отже, і тут треба продовжити відповідні таблиці задачі 2 лабораторної роботи 12 ще на один вузол:

A	B	C	D	E	F	G	H	I


	0,1974	↑
	0,3805	↑	↑
	0,5404	↑	↑	↑
	0,6747	↑	↑	↑	↑
	0,7854	↑	↑	↑	↑	↑
	0,8761	↑	↑	↑	↑	↑	↑
	0,9595	= В26 – В25	→	→	→	→	→	→

В результаті отримаємо таку трикутну таблицю:

A	B	C	D	E	F	G	H	I


0,2	0,197396	0,197396
0,4	0,380506	0,183111	-0,01428
0,6	0,54042	0,159913	-0,0232	-0,00891
0,8	0,674741	0,134321	-0,02559	-0,00239	0,006519
	0,785398	0,110657	-0,02366	0,001927	0,004321	-0,0022
1,2	0,876058	0,09066	-0,02	0,003667	0,001739	-0,00258	-0,00038
1,4	0,950547	0,074489	-0,01617	0,003826	0,000159	-0,00158	0,001002	0,001386

Побудуємо таблицю для підрахунку L₇(x₂*):

A	B	C	D	E	F	G	H	I
k
t + k	– 0,5	= – 0,5 + C27	→	→	→	→	→	→
t…(t + k–1)		= B29*B28	→	→	→	→	→	→
k!		= B30*C27	→	→	→	→	→	→
u_k(x₂*)	= B25*B29/B30	→	→	→	→	→	→	→
L_k(x₂*)	= СУММ($B$32:B32)	→	→	→	→	→	→	→

В результаті отримаємо:

A	B	C	D	E	F	G	H	I
k
t+k	-0,5	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5
t*…(t+k-1)		-0,5	-0,25	-0,375	-0,9375	-3,28125	-14,7656	-81,2109
k!
uk(x2*)	0,950547	-0,03724	0,002021	-0,00024	-6,2E-06	4,32E-05	-2,1E-05	-2,2E-05
Lk(x2*)	0,950547	0,913302	0,915324	0,915085	0,915078	0,915122	0,915101	0,915079

Похибка інтерполяції R₆(f, x) ≈ u₇(x) міститься у чарунці I31: R₆(f,x) ≈ 2,2∙10^-5. Отже, наближення лабораторної роботи 12 отримане тут також з табличною точністю п’яти вірних значущих цифр.

⇐ Предыдущая 14 15 16 171819 20 21 22 23 Следующая ⇒

Поделиться с друзьями:

Дата добавления: 2014-10-31; Просмотров: 317; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

studopediasu.com - Студопедия (2013 - 2026) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление

Генерация страницы за: 0.009 сек.