Контрольная работа №1

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ДЛЯ СЛУШАТЕЛЕЙ ЗАЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ

Решение примерного варианта КР №1

Примерный вариант контрольной работы №1

Задание 1
по разделу "Линейная алгебра"

1. Вычислить линейную комбинацию матриц А и В:

Дано:, . Найти: 3А – 2В.

2. Вычислить произведение матриц:

а).

б) .

3. Найти матрицу, обратную данной: A=.

4. Вычислить определитель .

5. Вычислить ранг матрицы .

6. Решить систему линейных уравнений с помощью формул Крамера:

.

7. Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение
системы:

а)

;

б)

;

в)

Задание 2
по разделу "Аналитическая геометрия"

1. Найти координаты и проверить коллинеарность векторов и , построенных на векторах и , если .

2. Найти косинус угла между векторами и , если даны координаты точек:

А (-1; 2; -3); В (3; 4; -6); С (1; 1; -1).

3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если:

а). ;

в) .

4. а) Составить уравнение стороны АС треугольника, если точки А (-3; 4) и В (2, 3) – его вершины, а М (1, 1) –точка пересечения его высот.

б)Составить уравнение прямой, проходящей через точку С, которая делит отрезок МК в отношении 1:3, параллельно прямой , если М (-3; 4), К (11,0).

в) В треугольнике с вершинами А (-2; 0), В (2; 6) и С (4; 2) найти уравнение стороны АС, медианы ВЕ и высоты ВD.

Ответ: x – 3y + 2 = 0; 5x – y –4 =0; 3x + y – 12 = 0.

5. а) В эллипс вписана окружность , пересекающая большую ось в фокусах, лежащих на оси OY. Составить уравнение эллипса. Сделать чертеж.

б) Составить уравнение окружности с центром в одной из вершин эллипса и проходящей через фокус параболы . Сделать чертеж.

в) Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси OY симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между фокусами равно 10, а угол между асимптотами кривой равен 60⁰. Сделать чертеж.

Ответ: 4y² – 12x² = 75.

6. Написать разложение вектора x по базису p, q, r, если x = (11: –6: 5),

p = (3; –2; 1), q = (–1; 1; –2), r = (2; 1; –3).

Ответ: x = 2p – 3q +r.

Задание 1
по разделу "Линейная алгебра"

Задача 1. Вычислить линейную комбинацию матриц А и В.

Дано:, .

Найти: 3А – 2В.

Решение

1. Найдем 3А и 2В - произведения матриц на число, умножая каждый элемент матриц на соответствующее число:

;

.

2. Вычислим поэлементно искомую разность полученных матриц:

.

Ответ: .

Задача 2. Вычислить произведение матриц:

а).

Решение

1. Определим размер матрицы-произведения: .

2. Найдем элементы с_ij матрицы-произведения как сумму произведений элементов i –ой строки матрицы А на соответствующие элементы j –го столбца матрицы В:

.

Ответ:.

б) .

Решение

1. Определим размер матрицы-произведения: .

2. Найдем элементы с_ij матрицы-произведения С:

.

Ответ: .

Задача 3. Найти матрицу, обратную данной: A=.

Решение

Для нахождения обратной матрицы воспользуемся формулой:

, (1)

где

­ detA - определитель матрицы А;

­ - присоединенная матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы А;

­ * - символ транспонирования матрицы.

1. Вычислим определитель матрицы:

Определитель матрицы , следовательно, матрица А – невырожденная и обратная матрица существует.

2. Составим присоединенную матрицу

,

где - алгебраические дополнения, - миноры элементов матрицы А, связь между которыми выражается формулой:

. (2)

Минор элемента определяется как определитель, получающийся из исходной матрицы вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится элемент.

3. Транспонируем матрицу , т.е. поменяем местами строки и столбцы матрицы:

.

4. Вычислим обратную матрицу по формуле (1):

.

5. Сделаем проверку. Согласно определению обратной матрицы

, (3)

где Е – единичная матрица.

Вычислим произведение :

.

Аналогично можно показать, что выполняется равенство .

Ответ: .

Задача 4. Вычислить определитель .

Решение

Для вычисления определителя четвертого порядка используем теорему о разложении определителя, согласно которой определитель n –го порядка Δ равен сумме произведений элементов какой-либо строки или какого либо столбца на их алгебраические дополнения, т.е.:

, ; (4)

или

, (5)

где - алгебраические дополнения элементов; i – номер строки, j – номер столбца определителя Δ.

Разложим исходный определитель четвертого порядка (n = 4) по элементам второго столбца (j = 2), тогда формула (5) для вычисления определителя принимает вид:

. (6)

Пользуясь свойствами определителей, упростим вычисление определителя по формуле (6), обратив в нули все элементы второго столбца, кроме элемента . Чтобы получить нули во втором столбце определителя, прибавим элементы первой строки (умноженные на 1) к соответствующим элементам второй и четвертой строк и вычтем из соответствующих элементов третьей строки:

.

Вычисляя полученный преобразованный определитель по формуле (6), получим:

Таким образом, вычисление определителя четвертого порядка свелось к вычислению одного определителя третьего порядка, который можно вычислить, например, методом треугольников, а можно опять понизить порядок определителя, используя теорему разложения.

Применим второй способ, предварительно преобразовав определитель третьего порядка. Обратим в нули все элементы третьего столбца определителя, кроме элемента . Для этого сначала умножим все элементы первой строки на 3 и сложим их с соответствующими элементами второй строки, затем все элементы первой строки сложим с соответствующими элементами третьей строки.

.

Раскладывая определитель по элементам третьего столбца, и вынося общие множители, получим:

.

Ответ:16.

Задача 5. Вычислить ранг матрицы .

Решение

1. Определим интервал, в котором находятся значения ранга данной матрицы. Известно, что для ранга матрицы А размера m x n справедливо соотношение:

, (7)

в соответствии с которым ранг исходной матрицы размера 3х4 лежит в интервале:или .

2. Для вычисления ранга матрицы воспользуемся методом элементарных преобразований, в соответствии с которым исходная матрица приводится к трапециевидной (ступенчатой) форме.

Приведем исходную матрицу к трапециевидной форме. Для этого на первом этапе получим нули в первом столбце матрицы, умножая элементы первой строки сначала на (-2), затем на (-5) и складывая их с соответствующими элементами второй и третьей строки:

®.

На втором этапе получим нули во втором столбце матрицы. Сначала для удобства дальнейших преобразований умножим элементы второй и третьей строки на (-1), а затем умножим элементы второй строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки:

.

Ранг полученной трапециевидной матрицы равен числу главных диагональных элементов (в данном случае – единиц), отличных от нуля, т.е. rang (A) = 2.

Ответ: 2.

Задача 6. Решить систему с помощью формул Крамера

.

Решение

Формулы Крамера имеют вид:

, (D ≠ 0; j = 1,2,…,n) (8)

где

­ - неизвестные, n – число неизвестных;

­ D – главный определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных,

­ D_j - вспомогательный определитель, получающийся из главного определителя D заменой j –го столбца на столбец свободных членов.

1. Вычислим определители (например, методом треугольников):

- главный определитель;

вспомогательные определители

, , .

2. Так как главный определитель системы отличен от нуля (D ≠ 0), то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера (8):

,

,

.

Целесообразно сделать проверку полученного решения. Подставим найденные значения неизвестных в исходную систему:

.

При подстановке найденных значений неизвестных в исходную систему каждое уравнение системы обратилось в тождество, следовательно, найденная последовательность чисел является решением системы.

Ответ: .

Задача 7. Решить методом Гаусса систему

а)

.

Решение

1. Определим число неизвестных системы n = 4 и число уравнений m = 4.

Выпишем матрицу коэффициентов системы
и матрицу-столбец свободных членов .

Составим расширенную матрицу системы - матрицу коэффициентов, дополненную столбцом свободных членов

= .

2. Приведем расширенную матрицу системы к трапециевидной форме (прямой ход метода Гаусса). Для этого, умножая элементы первой строки на числа (-2),(-3),(-4) и прибавляя их к соответствующим элементам второй, третьей, четвертой строки соответственно, получим нули в первом столбце матрицы. Затем, подбирая соответствующие множители ко второй и третьей строкам, получим нули во втором и третьем столбцах матрицы:

=®

®®®

3. [1]Определим ранги матриц:

rang = rang = 4 – ранг расширенной матрицы;

rang == 4 ранг матрицы коэффициентов системы.

rang = rang = r = 4.

Ранг матрицы коэффициентов системы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных системы (r = n =4). В этом случае, согласно теореме Кронекера-Капелли, система имеет единственное решение.

4. Найдем решение системы (обратный ход метода Гаусса):

Запишем укороченную систему, соответствующую полученной трапециевидной матрице:

.

Найдем неизвестные, последовательно исключая переменные

из уравнения (4′) x ₄ = 1,

из уравнения (3′) x ₃ = 0+ x ₄ = 0 + 1 = 1,

из уравнения (2′) x ₂=10 – 2 x ₃ – 7 x ₄ = 10 – 2 – 7 = 1,

из уравнения (1′) x ₁ = 11 – 2 x ₂ – 3 x ₃ – 4 x ₄ = 11 – 2 – 3 – 4 = 2.

Ответ: система совместна, определена,
имеет единственное решение .

б)

.

Решение

m = 3; n = 3.

1. Приведем расширенную матрицу системы к трапециевидной форме (прямой ход метода Гаусса):

.

В процессе преобразований на первом шаге поменяли местами первый и третий столбцы матрицы; на втором и третьем шагах получили нули в первом и втором столбцах соответственно.

Исходя их вида полученной трапециевидной матрицы, можно сделать вывод о том, что система несовместна (т.е. не имеет решений), так как последняя строка матрицы содержит ненулевой свободный член и соответствует противоречивому уравнению, которое привело к неверному равенству 0 = 1.

Заметим, что в данном случае ранг расширенной матрицы не равен рангу матрицы коэффициентов системы rang ≠ rang и, в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли, такая система несовместна.

Ответ: система несовместна.

в)

Решение

m = 3; n = 4.

Заметим, что в данном случае число уравнений меньше числа неизвестных (m < n), и такая система не может быть определена, т.е. не может иметь единственное решение.

1. Приведем расширенную матрицу системы к трапециевидной форме (прямой ход метода Гаусса):

.

2.Ранг полученной трапециевидной матрицы r, равный числу единиц, стоящих на главной диагонали, равен рангу матрицы коэффициентов системы, т. е. в этом случае

rang = rang = r = 2

и система совместна.

Так как r < n (ранг меньше числа неизвестных), система не определена, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Так как r = 2, то две переменные х ₁ и х ₂, входящие в базисный минор, являются базисными, остальные (n – r) переменные – свободные.

Пусть свободные переменные х ₃ и х ₄ принимают произвольные числовые значения С₁ и С₂, т.е. положим:

.

3. Обратный ход метода Гаусса. Запишем укороченную систему, соответствующую полученной трапециевидной матрице:

Оставим базисные переменные х ₁ и х ₂ в левой части уравнений, а свободные переменные х ₃ и х ₄ перенесем в правую часть:

,

где ; ,

откуда

,

.

Запишем общее решение системы в виде вектор-функции от свободных переменных С₁ и С₂

.

Ответ: .

Задание 2
по разделу "Аналитическая геометрия"

Задача 1. Найти координаты и проверить коллинеарность векторов и , построенных на векторах и , если .

Решение.

1. Найдем координаты векторов и , выполняя линейные операции с векторами в координатной форме:

=;

=.

2. Условием коллинеарности векторов и является пропорциональность их координат т.е.:

║ (9)

Проверим условие коллинеарности для векторов и :

║ .

Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны.

Убедиться в том, что векторы коллинеарны можно следующим образом: по условию

,

т.е. выполняется условие , где = 2, следовательно ║ .

Ответ: векторы коллинеарны.

Задача 2. Найти косинус угла между векторами и , если даны координаты точек: А (– 1; 2; – 3); В (3; 4; – 6); С (1; 1; – 1).

Решение

Косинус угла между векторами и найдем по формуле

, (10)

где - скалярное произведение векторов;

- модули векторов.

Скалярное произведение векторов и может быть вычислено по формуле:

, (11)

где - координаты вектора ; - координаты вектора .

Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат, т.е.:

. (12)

1. Вычислим координаты векторов. Если вектор задан координатами его конца (точка) и начала (точка), то координаты вектора определяются выражением:

, (13)

в соответствии с которым

;

.

Найдем модули векторов и по формуле (12):

; .

Вычислим скалярное произведение векторов (формула (11)):

.

Подставим найденные значения в формулу (10) и вычислим косинус угла между векторами и :

.

Ответ: 0.

Задача 3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если:

1) ;

2) .

Решение

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , может быть вычислена как модуль векторного произведения :

. (14)

По определению векторного произведения

, (15)

где φ – угол между векторами.

Если векторы изаданы своими координатами

= и = ,

то векторное произведение может быть вычислено с помощью определителя

. (16)

1). .

Векторы заданы своими координатами: и , поэтому для вычисления векторного произведения используем формулу (16), подставив в нее координаты векторов:

= =

= .

Найдем площадь параллелограмма (формула (14)), вычислив модуль вектора по формуле (12):

.

2). .

В данном случае вычислим векторное произведение , используя свойства векторного произведения:

.

Так как , , , получим

.

Найдем площадь параллелограмма (формула (14)), вычислив модуль векторного произведения по формуле (15):. В итоге получим:

Ответ: 1) ; 2) .

Задача 4.

а)Составить уравнение стороны АС треугольника, если точки
А(– 3; 4) и В(2, 3) – его вершины, а М (1, 1) – точка пересечения его высот.

Решение

1. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и , имеет вид:

. (17)

Составим уравнение прямой ВМ как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки В(2, 3) и М(1, 1), подставляя в уравнение (17) координаты точек B и М:

.

2. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно данной прямой , имеет вид:

. (18)

Воспользуемся уравнением (18) и составим уравнение прямой АС как уравнение прямой, проходящей через заданную точку А(– 3; 4) перпендикулярно прямой ВМ, уравнение которой: .:

.

Полученное уравнение может быть проверено.

Во-первых, можно проверить, проходит ли полученная прямая через точку А. Для этого достаточно подставить координаты точки А (– 3; 4) в полученное уравнение прямой АС и убедиться в том, что координаты точки А удовлетворяют этому уравнению: .

Во-вторых, можно проверить, выполняется ли условие перпендикулярности прямых АС и BM.

Условие перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями вида , имеет вид:

, (19)

т.е. условием перпендикулярности прямых является равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных в уравнениях прямых.

Убедимся в перпендикулярности прямой АС: и прямой BM: , подставляя в условие (19) соответствующие коэффициенты: .

Ответ: .

б)Составить уравнение прямой, проходящей через точку С, которая делит отрезок МК в отношении 1:3, параллельно прямой , если М (-3; 4), К (11,0).

Решение

1. Координаты точки С, которая делит отрезок М₁М₂ в данном отношении λ, определяются формулами:

; (20)

где - координаты точки М₁- начала отрезка; - координаты точки М₂ –конца отрезка.

В нашем случае λ = 1/3, = (- 3,4); = (11,0). Подставляя эти значения в формулу (20), определим координаты точки С:

; .

Итак, точка С имеет координаты (1/2, 3).

2. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно данной прямой , имеет вид:

. (21)

С помощью уравнения (21) составим уравнение прямой, проходящей через точку С(1/2, 3) параллельно прямой :

, или , или .

3. Условием параллельности прямых, является пропорциональность коэффициентов при переменных в общих уравнениях прямых, т.е.:

(22)

Проверим, выполняется ли условие параллельности (22) для прямых и : .

Ответ: .

в) В треугольнике с вершинами А(-2; 0), В(2; 6) и С(4; 2) найти уравнение стороны АС, медианы ВЕ и высоты ВD.

Решение

1. Составим уравнение прямой АС как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А(-2; 0), и С(4; 2) подставляя в уравнение (17) координаты точек А и С:

.

2. Воспользуемся уравнением (18) и составим уравнение прямой BD как уравнение прямой, проходящей через заданную точку В(2; 6) перпендикулярно прямой AC, уравнение которой 0:

.

3. Определим координаты точки Е, как координаты середины отрезка АС. Формула для определения координат середины отрезка может быть получена из формулы (20) при λ = 1:

; , (20)

где , - координаты точки А - начала отрезка; - координаты точки С – конца отрезка.

Подставляя в (20) координаты точек А(-2; 0) и С(4; 2), вычислим координаты точки Е:

; , т.е. Е(1,1)

4. Составим уравнение медианы BE как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки В(2; 6), и Е(1,1) подставляя в уравнение (17) координаты точек B и E:

.

Ответ: x – 3 y + 2 = 0; 5 x – y –4 =0; 3 x + y – 12 = 0.

Задача 5.

а) В эллипс вписана окружность , пересекающая большую ось в фокусах, лежащих на оси OY. Составить уравнение эллипса. Сделать чертеж.

Решение

1. Сделаем чертеж (см. рис.1).

Рис.1. Чертеж к задаче 5а.

2. Уравнение описывает окружность с центром в начале координат, радиус которой .

3. По условию задачи фокусы эллипса лежат на оси OY, тогда малая полуось эллипса лежит на оси ОХ и равна радиусу вписанной окружности, т.е. .

4. Окружность пересекает большую ось в фокусах эллипса, тогда фокусное расстояние равно радиусу окружности .

5. Найдем (квадрат большой полуоси эллипса) из соотношения :

.

6. Составим уравнение эллипса, воспользовавшись каноническим уравнением эллипса:

, (23)

Подставляя в уравнение (23) = 9, =18, получим:

.

Ответ: .

б) Составить уравнение окружности с центром в одной из вершин эллипса и проходящей через фокус параболы . Сделать чертеж.

Решение

1. Определим параметры и построим эллипс, описываемый уравнением . Сравнивая данное уравнение с каноническим уравнением эллипса (23) найдем:

; - полуоси эллипса.

Определим вершины эллипса как точки пересечения эллипса с осями координат: A₁(-3,0), A₂(3,0), B₁(0,5), B₂(0,-5) (см. рис.2).

Рис. 2. Чертеж к задаче 5б.

2. По уравнению параболы определим параметры и построим кривую.

Каноническое уравнение параболы имеет вид:

(24)

где p – параметр параболы.

Записывая уравнение в виде , и сравнивая полученное уравнение с каноническим уравнением (24), определим параметр параболы: .

Парабола, описываемая уравнением (24), проходит через начало координат (точка (0,0) – вершина параболы) и лежит в нижней полуплоскости (y ≤ 0).

Фокус параболы (24) - точка F с координатами (0, )., следовательно, фокусом параболы является точка F(0,-3).

3. Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке С() имеет вид:

. (25)

По условию задачи центр окружности лежит в одной из вершин эллипса. Выберем центр окружности в вершине эллипса B₂(0,-5), тогда координаты центра окружности , а радиус окружности . Подставляя полученные данные в (25), получим искомое каноническое уравнение окружности:

.

Ответ: x ² + (y +5)² = 4.

в) Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси OY симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между фокусами равно 10, а угол между асимптотами кривой равен 60⁰. Сделать чертеж.

Решение

1. Каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси OY симметрично относительно начала координат, имеет вид:

, (26)

где и b – вещественная и мнимая полуоси гиперболы соответственно, которые в данной задаче являются неизвестными (чертеж см. на рис.3).

Рис. 3. Чертеж к задаче 5в.

2. Для нахождения двух неизвестных составим систему из двух уравнений.

Для гиперболы

, (27)

где с – фокусное расстояние.

По условию задачи 2с = 10, с = 5, тогда из (27) получим первое уравнение:

.

Обозначим угол между асимптотами α. По условию задачи α = 60⁰. Рассматривая главный прямоугольник гиперболы, найдем тангенс угла α/2:

, или , откуда получим второе уравнение системы

.

3. Решая систему, получим:

.

Подставляя найденные значения в уравнение (26), получим искомое уравнение гиперболы:

или 4 y ² – 12 x ² = 75.

Ответ: 4 y ² – 12 x ² = 75.

Задача 6. Написать разложение вектора x по базису p, q, r, если
x = (2, –1, 1)

p = (1; 1; 1), q = (0; 2;3), r = (0; 1;5).

Решение[2]

1. Пусть - координаты вектора x в новом базисе, тогда разложение вектора по базису p, q, r будет иметь вид: