Тема 5. Гетероскедастичність

5.1. Виявлення гетероскедастичності та її природа

Розглянемо класичну лінійну багатофакторну модель

(5.1)

Як завжди,

, (5.2).

,

Для застосування МНК при оцінюванні параметрів моделі рані­ше було сформульо­вано основні припущення, які на практиці можуть порушуватись.

Раніше розглядався особливий випадок багатофакторного регресійного аналізу, пов'язаний з проблемою мультиколіне­арності. Тепер розгля­немо інший особливий випадок, що стосується сталості дисперсії кожної випадкової величини (гомоскедастичність залишків).

Означення 5.1. Якщо дисперсія залишків стала для кожного спо­стереження, то це явище називається гомоскедастичністю:

, . (5.3)

Якщо це припущення не задовольняється в якомусь окремому випадку, то маємо гетероскедастичність (помилки некорельовані, але мають несталу дисперсію).

Означення 5.2. Якщо дисперсія залишків змінюється для кожного спостереження або групи спостережень, то це явище називається ге- тероскедастичністю:

, . (5.4)

Розглянемо питання про доцільність припущення (5.3) і про те, що відбувається, якщо це припущення не задовольняється.

Насамперед зауважимо, що сутність припущення про гомоскедастичність полягає в тому, що варіація кожної випадкової складової навколо її математичного сподівання не залежить від значення факторів :

Форма гетероскедастичності залежить від знаків і значень ко­ефіцієнтів у залежності

Оскільки не спостережувана випадкова величина, ми не знає­мо справжньої форми гетероскедастичності.

У прикладних дослідженнях, як правило, використовують зручне припущення, а саме: в разі простої лінійної регресії гетероскедастичиість має форму

=

(, яку потрібно оцінити).

Наслідки порушення припущення про гомоскедастичність:

1)неможливо знайти середньоквадратичне відхилення параметрів регресії, а отже, неможливо оцінити значущість пара­метрів;

2)неможливо побудувати довірчий інтервал для прогнозних значень ­ ;

3) отримані за МНК оцінки параметрів регресії не є ефективними (не мають найменшої дисперсії).

Зазначимо, що якщо, незважаючи на гетероскедастичність, ми ви­користовуватимемо звичайні процедури перевірки гіпотез, то висновки можуть бути неправильними. Зрозуміло, гетероскедастичність є суттєвою проблемою, а тому потрібно вміти з’ясовувати її наявність.

5.2. Тестування наявності гетероскедастичності

Як і в разі мультиколінеарності, єдиних правил виявлення гетероскедастичності немає, а є різноманітні тести (критерії): критерій , параметричний та непараметричний тести Гольдфельда–Квандта, тест Глейсера, тест рангової кореляції Спірмена та ін. Розглянемо лише деякі з них.

5.2.1. Параметричний тест Гольдфельда–Квандта

Зауваження. 1. Цей тест застосовується до великих вибірок. 2. Тест припускає нормальний розподіл і незалежність випадкових величин .

1-й крок:

спостереження (вихідні дані) впорядкувати відповідно до величи­ни елементів вектора , який може спричинити зміну дисперсії за­лишків.

2-й крок:

відкинути спостережень, які розміщені всередині векторів вихід­них даних.

3-й крок:

побудувати дві моделі на основі звичайного МНК за двома створеними сукупностями спостережень обсягом за умови, що , де – кількість змінних.

4-й крок:

знайти суму квадратів залишків моделей і за першою і другою моде­лями:

,

де , і – залишки відповідно за першою і другою моделями.

5-й крок:

розрахувати експериментальне значення критерію , який у разі виконання гіпотези про гомоскедастичність відповідатиме F -розподілу з ступенями свободи;

6-й крок:

значення критерію порівняти з табличним значенням критерію при вибраному рівні значущості і відповідних ступенях свободи і ; якщо , то гетероскедастичність відсутня.

Зауваження: чим більше значення , тим більша гетероскедас­тичність залишків.

5.2.2. Непараметричний тест Гольдфельда–Квандта

Цей тест базується на встановленні кількості піків значень за­лишків після впорядкування (ранжування) спостережень за . Якщо для всіх значень змінної залишки розподіляються приблизно од­наково, то дисперсія їх однорідна і гетероскедастичність відсутня. Якщо вона змінюється, то гетероскедастичність присутня.

Зазначимо, що цей тест не цілком надійний для перевірки на ге­тероскедастичність. Однак він дуже простий і часто використовуєть­ся для першої оцінки наявності гетероскедастичності множини спо­стережень.

5.2.3. Тест Глейсера

Перевірка на гетероскедастичність базується на побудові регресійної функції, що характеризує залежність величини залишків за мо­дулем від пояснюючої змінної ,яка може зумовити зміну дисперсії залишків.

Аналітична форма регресійних функцій може мати вигляд

,

,

тощо.

Рішення про відсутність гетероскедастичності залишків прий­мається на основі значущості коефіцієнтів і . Перевага цього ме­тоду полягає в можливості розрізняти випадок чистої () і змішаної () гетероскедастичності. Залежно від цього по­трібно використовувати різні матриці .

Оскільки явище гетероскедастичності пов’язане з тим, що зміню­ються дисперсії залишків, а коваріація між ними відсутня, то матри­ця у співвідношенні має бути додатно визначеною й діагональною.

Приклад. Перевірити гіпотезу про відсутність гетероскедастич­ності для побудови моделі, яка характеризує залежність заощаджень від доходів населення. Статистичні дані наведено в таблиці.

Таблиця 5.2

Дані до задачі

Розв'язання:

Ідентифікуємо змінні: – заощадження, – дохід. Специфікуємо модель у вигляді

Для перевірки гіпотези про відсутність гетероскедастичності за­лишків моделі застосуємо параметричний тест Гольдфельда–Квандта.

1-й крок: спостереження впорядкуємо за зростанням за величиною доходу (вектор ), який може спричинити зміну дисперсії залишків.

Таблиця 5.3

Дані до задачі

2-й крок: відкинемо спостережень усередині вектора вихідних даних.

Отримаємо дві сукупності спостережень обсягом .

Таблиця 5.3

Перша сукупність спостережень:

Друга сукупність спостережень:

3-й крок: побудуємо дві моделі на основі звичайного МНК за двома ство­реними сукупностями спостережень:

4-й крок: знайдемо суму квадратів залишків і , за першою і другою мо­делями:

,

де і – залишки відповідно за першою і другою моделями.

5-й крок: розрахуємо фактичне (експериментальне) значення критерію .

Приймаємо рівень значущості .

Число ступенів свободи: .

Розраховане значення критерію порівняємо з табличним F -критерію при рівні значущості і відповідних ступенях свободи :

.

Оскільки , то гетероскедастичність відсутня. Отже, МНК-оцінки параметрів регресійної моделі можуть застосовуватися для подальших досліджень.

5.3. Усунення гетероскедастичності

Розглянемо питання усунення гетероскедастичності трансформу­ванням початкової моделі. Припустимо, що за статистичними даними побудовано початко­ву регресійну модель

і на базі будь-якого тесту встановлено наявність гетероскедастичності:

Для усунення гетероскедастичності початкову модель змінюють (трансформують) так, щоб помилки мали сталу дисперсію:

Трансформація моделі зводиться до зміни початкової форми мо­делі методом, який залежить від специфічної форми гетероскедастич­ності, тобто від форми залежності між дисперсіями залишків і зна­ченнями незалежних змінних:

(5.5).

Розглянемо сутність трансформації моделі на прикладі простої лінійної регресії.

Нехай початкова модель

(5.6),

де компоненти випадкового вектора гетероскедастичні, але відпові­дають іншим класичним припущенням лінійної регресії.

Припустимо, що гетероскедастичність має форму

(5.7)

де , –функція від .

Трансформація початкової моделі здійснюється діленням її на .

Зазначимо, що така трансформація еквівалентна застосуванню зваженого методу найменших квадратів (ЗМНК), який є особливим випадком узагальненого методу найменших квадратів (УМНК). Суть ЗМНК полягає в мінімізації зваженої суми квадратичних відхилень:

Зазначимо також, що ЗМНК, застосований до початкової моделі, дає такі самі результати, що й МНК, застосований до трансформова­ної моделі.

Твердження. Оцінки трансформованої моделі мають меншу дис­персію (ефективніші), ніж оцінки, отримані із застосуванням МНК до початкової моделі.

Нарешті, потрібно пам'ятати, що гетероскедастичність може існу­вати за рахунок неврахованих факторів (поганої специфікації моделі). У цьому разі можливим рішенням є включення неврахованих фак­торів у модель. Сліпе застосування трансформації (без аналізу при­чин гетероскедастичності) зробить гомоскедастичною випадкову змінну, однак оцінки параметрів залишаться неправильними через неврахування важливих факторів.

Дата добавления: 2014-10-23; Просмотров: 4110; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!