Тема. Довжина вектора. Відстань між точками у просторі. Координати середини відрізка

= =

2. Відстань між точками у просторі

Виразимо відстань між двома точками А₁(х₁; у₁; z₁) і А₂(х₂; у₂; z₂) через координати цих точок.

Розглянемо спочатку випадок, коли пряма А₁А₂ не паралельна осі z (рис. 5). Проведемо через точки А₁ і А₂ прямі, паралельні осі z. Вони перетинають площину ху в точках і . Ці точки мають ті ж координати х, у, що й точки А₁ і А₂, а координата z у них дорівнює нулю. Проведемо тепер площину через точку А₂, паралельну площині ху. Вона перетне пряму А₁у деякій точці С. За теоремою Піфагора

А₁ = А₁С² + С

Відрізок СА₂ дорівнює відрізку, а

= (х₂ – х₁)² + (у₂ – у₁)².

Довжина відрізка А₁С рівна . Тому

А₁ = (х₂ – х₁)² + (у₂ – у₁)² + (z₂ – z₁)².

Якщо відрізок А₁А₂ паралельний осі z, то А₁А₂ =.

Такий же результат дає і знайдена формула, тому що в цьому випадку х_{1 =} х₂, у₁ = у₂.

Таким чином, відстань між точками А₁ і А₂ знаходять за формулою:

А₁А₂ = .

3. Координати середини відрізка

Нехай A₁(х₁; у₁; z₁) і А₂(х₂; у₂; z₂) — дві довільні точки. Виразимо координати х, у, z середини С відрізка А₁А₂ через координати його кінців А₁ і А₂ (рис. 6). Для цього проведемо через точки А₁, А₂ і С прямі, паралельні осі z. Вони перетнуть площину ху у точках , і С'(x; y; 0). За теоремою Фалеса точка Сє серединою відрізка . А ми знаємо, що на площині ху координати середини відрізка виражаються через координати його кінців за формулами:

Щоб знайти формулу для z, досить замість площини ху взяти площину хz або уz. При цьому для z одержимо аналогічну формулу:

.

Рис. 6