Статистичні оцінки характеристик вимірювань

. В загальному випадку статистичні оцінки є лише певним наближенням оцінюваних параметрів. Для визначення ступеня наближення вводяться 3 показники якості статистичних оцінок:

1. Обґрунтованою називається статистична оцінка, яка при збільшенні об’єму вибірки результатів спостережень наближається до істинного значення оцінюваної величини.

2.До незміщених належать статистичні оцінки, математичне сподівання яких дорівнює істинному значенню оцінюваної величини.

3. Ефективною є статистична оцінка, дисперсія якої у порівнянні з іншими статистичними оцінками є найменшою.

Наведемо статистичні оцінки математичного сподівання, дисперсії і СКВ результатів спостережень, які визначені за методом максимальної правдоподібності.

Оцінкою математичного сподівання результатів багаторазових рівноточних вимірювань величини , представлених серією (вибіркою) , є середнє арифметичне

. (3.19)

Вона є точковою, обґрунтованою і незміщеною при будь-якому симетричному законі розподілу результатів одиничних (окремих) вимірювань, або спостережень. Для нормального закону розподілу вона також ефективна. Показники якості проявляються при На практиці вибірка обмежена і оцінка є випадковою величиною. Її розсіювання відносно істинного значення вимірюваної величини характеризується оцінкою дисперсії : використовуючи властивості дисперсії незалежних випадкових величин Х_q,одержимо вираз

де - оцінка дисперсії одиничних (окремих) незалежних результатів у серії рівноточних результатів спостережень Х_q відносно їх середнього арифметичного

Звідси для оцінки СКВ середнього арифметичного маємо

(3.20)

Вказане співвідношення свідчить, що розсіювання середнього арифметичного відносно істинного значення вимірюваної величини в разів менше, ніж розсіювання окремих результатів вимірювань відносно їх середнього арифметичного . Згідно з (3.20) доцільне використання багаторазових вимірювань для підвищення точності вимірювань.

Довірчі границі інтервальної оцінки похибки результату багаторазових вимірювань знаходять за формулою (3.14), яка для даного випадку має вигляд

, (3.21)

Точкову оцінку дисперсії рівноточних вимірювань , однієї і тієї самої ФВ Х відносно їх середнього арифметичного обчислюється за формулою

а оцінка СКВ (стандартне відхилення)

(3.22,а)

Після алгебраїчних перетворень вираз (3.22,а) приймає вид

. (3.22,б)

Використання формули (3.22,б) забезпечує зменшення витрат програмуємої пам'яті ЕОМ. При великих об'ємах виборці (n>30) замість (n-1) в формулах використовується n.

У метрології стандартне відхилення також називають похибкою вимірювань. Якщо в результати багаторазових вимірювань уведені поправки на систематичні похибки, то відхилення представляють собою випадкові похибки. При цьому термін СКВ співпадає з терміном «середня квадратична похибка» результатів одиничних вимірювань у даній серії.

Оцінка СКВ через обмежений об’єм вибірки є випадковою величиною. Її розсіювання характеризується оцінками дисперсії і СКВ оцінки , які визначаються як

;

Відносна похибка визначення оцінки СКВ (у %) за результатом обробки серії багаторазових вимірювань дорівнює

Оцінки , і ефективні асимптотичне (при n→ ∞). Тому значення при обчисленнях не записують більш як з двома значущими цифрами.

Крім оцінок СКВ і довірчих границь похибки, близькість результатів двох і більше серій багаторазових рівноточних вимірювань іноді характеризують розмахом або середньою арифметичною похибкою (за модулем). Розмах результатів вимірювань R_n обчислюють за формулою

,

де X_max, X_min – найбільше і найменше значення ФВ серії вимірювань.

Наведені вище статистичні оцінки значення середнього арифметичного і характеристик її випадкової похибки (оцінок дисперсії, СКВ) здебільшого знаходять застосування в практиці технічних вимірювань, коли загальноприйнятими є припущення про нормальність розподілу похибок вимірювань. Якщо розподіл похибок вимірювань інший, вказані оцінки не забезпечують максимальної точності. Тому при використанні вибірки обмеженого об’єму необхідна перевірка гіпотези про вид функції щільності ймовірності результатів спостережень.

Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 854; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!