Решение ключевого примера

Пример. Найти интервал сходимости степенного ряда.

Воспользуемся признаком Даламбера:, где.

;.

.

Центр интервала в точке, так как ряд по степеням.

Исследуем ряд на концах интервала.

При получим числовой знакопеременный ряд.

Ряд знакочередующийся, проверим выполнимость условий Лейбница: 1); 2). Оба условия выполнены, значит, ряд сходится.

При получим положительный ряд

Подберем ряд для сравнения:;;. По предельному признаку сравнения:, следовательно ряд расходится, так как расходится как общегармонический ряд при.

Следовательно, интервал сходимости степенного ряда.

Задача 4.

Решение задачи 4 основано на материале темы обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка Теоретические основы этой темы перечислим ниже.

Дифференциальные уравнения I порядка

Дифференциальным уравнением (обыкновенным) называется уравнение, связывающее независимую переменную, функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. В общем виде дифференциальное уравнение может быть записано в следующем виде:

.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения. Следовательно, уравнения I порядка имеют вид или (в разрешенном относительно виде).

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая на интервале функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество на.

Задача, в которой требуется найти решение уравнения, удовлетворяющее условию, называемому начальным условием, называется задачей Коши.

Общим решением дифференциального уравнения в некоторой области плоскости называется функция, зависящая от и постоянной из некоторого множества, если: 1) является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной; 2) для любого начального условия существует единственное значение, при котором решение удовлетворяет начальному условию.

Всякое решение, получающееся из общего решения, для области при конкретном значении называется частным решением.

Общее решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называется общим интегралом этого уравнения.

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений I порядка.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Это дифференциальные уравнения, которые могут быть записаны в виде или в виде равенства дифференциалов:. При такой симметричной записи относительно и иногда удобно рассматривать не как функцию, а как функцию переменной. Называя иногда функцией, именно это имеют в виду.

Для решения последнего уравнения надо обе части уравнения умножить или разделить на такое выражение, чтобы после сокращений в одну часть входило выражение, связанное только с переменной, а в другую ¾ только с, а затем проинтегрировать обе части. При делении обеих частей на выражение, содержащее неизвестные и, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль. Поэтому такие решения проверяются.

Однородные уравнения

Определение. Функция называется однородной функцией степени, если для всех имеем.

Однородные уравнения могут быть записаны в виде или, где и ¾ однородные функции одной и той же степени.

Чтобы решить однородное уравнение, делают замену, где ¾ новая неизвестная функция от, после чего получают уравнение с разделяющимися переменными.

Линейные уравнения I порядка.

Это уравнения вида. Чтобы их решить, сначала решают уравнение (это делается путем разделения переменных) и, в общем решении последнего заменяя произвольную постоянную на неизвестную функцию, получают решение. Затем выражение, полученное для, подставляют в исходное уравнение и находят функцию (так же разделением переменных).

Линейные уравнения I порядка можно решить также методом Бернулли: с помощью подстановки, где и ¾ две неизвестные функции. Исходное уравнение преобразуется к виду. Далее, за принимают любое частное решение уравнения или. После того как найдено, оно подставляется в уравнение (слагаемое в квадратных скобках при этом обращается в 0), откуда находится общее решение, а затем при умножении на и общее решение исходного уравнения.

Уравнения, допускающие понижение порядка.

Рассмотрим два случая: а) в уравнение не входит искомая функция, т. е. оно имеет вид. Тогда порядок понижается, если сделать замену; б) в уравнение не входит независимая переменная, т. е. оно имеет вид. Тогда порядок понижается, если записать.

Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 349; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!