Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И МЕТОД ИХ РЕШЕНИЯ

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

Общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными даётся формулой:

.

Эта формула задаёт y как функцию x неявно. Если уравнение решить относительно y, то получим явное решение дифференциального уравнения.

Пусть задано дифференциальное уравнения с разделяющимися переменными:

;

Нужно разделить переменные: в левой части уравнения собрать все у и дифференциал dу, в правой части все х и дифференциал dx.

Примечание. Основные случаи потенцирования:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Уравнение называется однородным, если функция может быть представлена как функция отношения своих аргументов.

.

Однородное дифференциальное уравнения первого порядка приводится к виду уравнения с разделяющимися переменными подстановкой:

,

где U – новая неизвестная функция.

Например:

Учитывая, что получаем

Находим :

Делим числитель и знаменатель правой части равенства на , получаем:

(1)

Вводим новую переменную , (2)

т.е. , откуда

(3)

Подставляем значения из равенств (2) и (3) в равенство (1), получаем:

Путем преобразований делим переменные (уравнение решается относительно U)

Интегрируем обе части:

(4)

Подставляем значение U из (4) во (2):

-общее решение.

Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 670; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!