Примеры с решениями

Пример 1.1. Векторы напряжений и в точке Р действуют соответственно на элементы поверхности и (рис. 1.7). Показать, что компонента в направлении равна компоненте в направлении .

Решение. Требуется показать, что . Используя (1.2), получим т.к. тензор напряжений симметричен , то данное соотношение можно переписать в виде .

Пример 1.2. В некоторой точке тела в декартовой ортогональной системе координат тензор напряжений задан своими компонентами (в Паскалях)

Для площадки с нормалью , найти компоненты вектора и угол q между вектором напряжения и нормалью.

Решение. Проверим, является ли вектор нормали единичным, в противном случае его необходимо нормировать: .

Используя формулу (1.2), находим

.

Угол q между вектором напряжения и нормалью определим, воспользовавшись формулой скалярного произведения :

,

, .

Ответ: , .

Пример 1.3. В точке Р задан тензор напряжений

.

Определить вектор напряжений в точке Р на площадке параллельной плоскости BGE в элементарном параллелепипеде изображенном на рис.1.8.

Решение. Найдем вектор нормали к изображенной плоскости BGE. Используя уравнение плоскости в отрезках , или , имеем вектор нормали , или . Вектор напряжения находим, используя формулу (1.2):

.

Ответ: .

Пример 1.4. Тело находится в равновесии под действием только поверхностных сил. Пусть , , , где - произвольные, достаточное число раз дифференцируемые функции. Найти все компоненты тензора напряжений, при которых удовлетворяются уравнения равновесия.

Решение. Уравнения равновесия примут вид (, т.к. тело находится только под действием только поверхностных сил).

Þ Þ

Þ

Ответ: , , .

Пример 1.5. Матрица компонент тензора напряжений в покоящийся среде с заданной плотностью r имеет вид , где a, b, с – сonst. Найти массовые силы, если компоненты тензора напряжений заданы в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

Замечание. При изменении системы координат диагональный тензор напряжения не изменится, это свойство будет рассмотрено в следующем разделе.

Решение. 1) Запишем уравнения равновесия в декартовой системе координат и подставим заданный тензор напряжений

Þ Þ

2) Уравнение равновесия в цилиндрической системе координат

где - проекции объемной силы, отнесенные к единице объема на координатные оси , а компоненты заданного тензора в цилиндрической системе координат соответствуют следующим напряжениям .

Поэтому

Þ Þ

3) Уравнение равновесия в сферической системе координат

где - проекции объемной силы, отнесенные к единице объема на координатные оси . Компоненты тензора напряжений в сферической системе координат соответствуют следующим напряжениям .

Поэтому

Þ

Ответ: в системе (x y z), в системе (rq z), в системе (rqj).

Задания для самостоятельного решения по теме