Расчет переходного режима

Расчет производится для послекоммутационной схемы (рис. 3) с учетом независимых начальных условий.

3.1. Записываем искомую величину в переходном режиме в виде суммы установившейся и свободной составляющих, которые соответственно являются частным решением неоднородного дифференциального уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения для искомой величины; i₂=i_2у+i_св=1+i_2св

3.2. Определяем вид свободной составляющей

Вид свободной

cоставляющей определяется корнями характеристического уравнения, описывающего искомую величину.

Составим и решим
характеристическое
уравнение, для чего наиболее
удобно использовать метод
Z_вх(р)=0, где Z_вх(р) -
операторное входное

сопротивление, определенное для схемы свободных токов.

Построив схему свободных токов (рис. 4) иразомкнув какую либо ветвь (например, ветвь 1), найдем входное сопротивление Z _вх {р) относительно полюсов разрыва и приравняем его нулю. Удобнее размыкать ветвь, содержащую емкость. На схеме рис 4 емкости соответствует операторноесопротивление 1/рС, а индуктивности - операторное сопротивление pL.

Характеристическое уравнение получим, приравняв нулю числитель выражения для Z _вх(р):

.

Подставив в это уравнение числовые значения (R в Омах, С в Фарадах, L в Генри), получаем

33,28-10^-6р² + 1333∙10^-3 р + 100=0.

Корни характеристического уравнения равны: p₁= -1000 с^-1, р₂=-3000с^-1.

Заметим, что значения корней всегда должны быть отрицательными. Так как получены действительные и различные корни, то

i₂=1+ ,(1)

где А₁ и А₂ - постоянные интегрирования, которые необходимо найти, используя независимые начальные условия u_с(0-) и i_з(0-).

3.3. Определение постоянных интегрирования.

Для определения постоянных интегрирования необходимо иметь столько уравнений, сколько корней у характеристического уравнения. Так как в рассматриваемом примере корней два. то необходимо иметь систему двух уравнений, где неизвестными являются постоянные интегрирования А₁ и А₂. Недостающие уравнения получают последовательным дифференцированием по времени уравнения, полученного для искомой величины:

i₂′= . (2)

Подставив в уравнения (1) и (2) t=0, получим

(3)

Подставив в систему уравнений (3) значения р₁=-1000 с^-1 и

р₂ = -3000 С^-1 получим

(4)

Чтобы найти значения искомой величины и ее производных при t=0, необходимо составить систему уравнений Кирхгофа, для послекоммутационной цепи, затем последовательно ее продифференцировать по времени столько раз, сколько постоянных интегрирования минус 1 и подставить в полученные системы уравнений t=0.

В рассмотренном примере систему уравнений Кирхгофа необходимо дифференцировать один раз, так как постоянных интегрирования две. Выбрав направление обхода контуров цепи рис. 3, получим:

(5)

Подставляем в (5) момент времени t=0

(6)

Подставляем в (6) числовые значения сопротивлений, ЭДС и величины u_c(0)= u_c(0-)25В, i₃(0)=i_з(0-)=0,5А, полученные с использованием законов коммутации:

(7)

Решив систему (8), находим:

i₁(0) = 0,333 А, i₂ (0) = 0,833A, и_L (0) = 33,35. (8)

С учетом известных соотношений и можно

определить u_с и i₃ при t=0, которые будут использованы в дальнейших расчетах:

, (0)/C=0.333/8.6∙10^-6=38720 В/с;

/L; =33.35/25.8∙10^-3=1292 А/с.

Далее подставляем в (6) момент времени t=0:

(9)

Подставляем в (9) числовые значения сопротивлений и величины u_с'(0) = 38720 В/с, i₃(0)= 1292 А/с:

(10)

(10.1)

Решив систему (10), находим требуемую величину i'₂(0)=603 А/с. Подставляем найденные i₂(0)=0,833 А и i'₂(0)=603 А/с в систему уравнений (4) и находим постоянные интегрирования А₁ и А₂:

(11)

А, =0,051; А₂ = -0,218.

Следовательно, решение задачи будет иметь вид:

(11.1)

Следует заметить, что процесс решения задачи сокращается, если необходимо определить переходные ток в индуктивности или напряжение на конденсаторе. В этом случае систему уравнений Кирхгофа не придется дифференцировать. Напряжение на сопротивлении следует искать как произведение R∙i, определив для этого ток i, который по нему протекает.

ПРИМЕР 2

В задаче примера 1 найти напряжение u_L если R₁ = 0.

1.РАСЧЕТ ДОКОММУТАЦИОННОГО РЕЖИМА. Так как в этом режиме ток i₁(0-)=0, величина сопротивления R₁ не влияет на u_с(0-) и i₃(0-) и они будут иметь те же значения, что и в примере 1, то есть u_с(0-)^:=25 В; i₃(0-)=0,5 А.

2.РАСЧЕТ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА.

Так как в цепи действует источник постоянной ЭДС, то u_Ly= 0.

3.РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО РЕЖИМА.

u_L=u_Ly+u_Lсв=0+ u_Lсв = u_Lсв.

Подставив значение R₁ = 0 в характеристическое уравнение,

составленное в примере 1, получим

LCR₂р²+(СR₂R₃+L)р+R₂+Rз = 0.

Подставив в это уравнение числовые значения, получаем

25.8∙10^-3∙8.6∙10^-6∙50p²+(8.6∙10^-6∙50∙50+25.8∙10^-3)p+50+50=0,

11.094∙10^-6p²+47.3∙10^-3p+100=0.

Корни этого характеристического уравнения равны

.

При комплексно сопряженных корнях решение и его производная имеют вид:

(12)

(13)

В уравнении (12) А и являются постоянными интегрирования. Подставив в уравнение (12)и(13) 1=0, получим

(14)

Для определения u_L(0) и u_L’(0) аналогично примеру 1 составим систему уравнений Кирхгофа, а затем продифференцируем ее по времени:

(15)

(16)

Подставляем в (15) момент времени t=0:

(17)

Подставляем в (17) числовые значения сопротивлений, ЭДС и величины u_с(0)=25В, i₃(0)=0,5, полученные с использованием законов коммутации:

(18)

Решив систему (18), находим: i₂(0)=1,5 А, i₁(0)=1 А, u_L(0)=0.

С учетом соотношений и'_с (0) = и i₃ (0) = находим:

ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> ,

=0/25.8∙10^-3=0 A/c.

Далее подставляем в (16) момент времени t=0:

(19)

Решив систему (19), находим требуемую величину u_L'(0)=116279 В/с. Подставив найденные u_L′(0)=0 и u_L′(0)=116279 в систему уравнений (14), находим постоянные интегрирования А и α

(20)

=0; А=55.

Решение задачи имеет вид:

(21)

Полученное решение для напряжения u_L представляет собой затухающую синусоиду.

ПРИМЕР 3

В задаче примера 1 найти ток i₁, если e=141∙sin(1000t+30°) В, размыкание ключа Кл1 происходит в момент времени t=0.

1. РАСЧЁТ ДОКОММУТАЦИОННОГО РЕЖИМА

Расчёт цепи рис. 2 произведём с применением комплексного метода. Применим метод двух узлов:

X_L=ωL=1000∙25.5∙0.001=25.8 Ом,

Xc=1/ωC=1/(100∙8.6∙10^-6)=116 Ом.

Рассчитаем комплексные сопротивления и проводимости всех ветвей цепи

рис.2.

Ом

Ом.

См;

В

Мгновенные значения u_c(0-) и i₃(0-) равны:

u_c(0-)=25∙√2∙sin(1000t-8˚) B,

i₃(0-)=0,59∙√2∙sin(1000t+6˚)A.

Получаем независимые начальные условия:

U_c(0)=25 ∙ √2 ∙ sin(-8˚)= -5 B,

I₃(0)=0,59 ∙ √2 ∙ sin6˚=0,09 A.