Уравнение плоскости в отрезках на осях

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости , проходящей через три данные точки ; и , не ле­жащие на одной прямой.

Возьмем на плоскости произвольную точку и составим векторы , , . Эти векторы лежат на плоскости , следовательно, они компланарны. Используем условие компланарнос­ти трех векторов (из аналитической геометрии известно, что в этом случае их смешанное произведение равно нулю), получаем (. Смешанное произведение векторов можно вычислить через определитель третьего порядка:

. (2)

Раскрывая определитель по элементам первой строки, получим уравнение плоскости вида (1), т. е. уравнение (2) есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Пусть плоскость отсекает на осях , и соответственно отрезки , и , т. е. проходит через три точки , и (рис.1).

Подставляя координаты этих точек в уравнение (2), получаем

.

Раскрыв определитель, имеем , т. е. или

. (3)

Уравнение (3) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.

Дата добавления: 2014-11-06; Просмотров: 396; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!