Решение системы алгебраических уравнений

Решение бигармонического уравнения сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений вида

Матрица А содержит коэффициенты при неизвестных, а вектор свободные члены системы уравнений. Этот вектор превращается в матрицу при расчете на несколько нагрузок. Причем столбцов этой матрицы столько, на сколько видов нагружения рассчитывается конструкция. Вектор является вектором неизвестных значений функции.

Для решения системы уравнений на ЭВМ можно воспользоваться подпрограммой языка Фортран. Подпрограмма вызывается оператором . Приведем описание формальных параметров подпрограммы: - массив правых частей системы (в подпрограмме не сохраняется), - массив коэффициентов при неизвестных (не сохраняется), – число уравнений системы,– число столбцов массива , – необходимая точность решения системы, – код ошибки (если ошибки нет, то ). Подпрограмма размещает ответ в массиве .

Пример расчета балки – стенки методом конечных разностей (методом сеток)

Выбираем шаг сетки и покрываем балку – стенку сеткой так, чтобы ее крайние узлы совпали бы с границей области. Число неизвестных равно числу внутренних узлов сетки. На рисунке 11 выбран такой шаг сетки, что внутренних узлов 6. Основными неизвестными будут шесть значения функции напряжений во внутренних узлах сетки.

Рисунок 11. Схема нагрузки и выбор шага сетки

Для сокращения числа неизвестных можно разложить нагрузку на симметричную кососимметричную составляющие относительно вертикальной оси (рис. 12). Тогда проводятся расчеты отдельно симметричного и кососимметричного состояний и результаты складываются. Здесь приводится расчет без разложения нагрузки, т.е. основными неизвестными будут (Рис.13)

Рисунок 12. – Разложение нагрузки

Для формулирования граничных условий в контурных и законтурных узлах сетки используем рамную аналогию. Обозначаем контурные и законтурные точки (Рис. 13).

Рисунок 13. – Обозначение узлов сетки

Выбираем основную систему рамы, имеющей очертание контура упругого тела. так как замкнутый контур является системой трижды статически неопределимой, то основная система может быть выбрана путем введения трех шарниров, не лежащих на одной прямой, или введением шарнира в произвольном месте контура. В приведенном примере введены три шарнира в углах рамы.

При расчете симметричной рамы на симметричную нагрузку необходимо основную систему выбрать так, чтобы эпюры изгибающих моментов и продольных сил были бы симметричными, а при расчете кососимметричных систем эти эпюры должны быть кососимметричными. При нарушении этих требований число основных неизвестных не сокращается.

Рисунок 14

Для принятой основной системы (Рис. 14-а) эпюры изгибающих моментов и продольных сил в раме будут иметь вид, представленный на рисунках 14–б и 14-в. Функцию напряжений в контурных узлах сетки приравниваем значениям изгибающего момента в раме. В точках, отстоящих на один шаг сетки от контура тела (в законтурных точках), функцию напряжений определяем из условия равенства нормальной производной функции напряжений в контурной точке продольной силе в раме. Т.е. функция напряжений в законтурной точке равна значению функции напряжений во внутренней точке плюс удвоенное произведение шага сетки на продольную силу в раме, имеющей очертание контура рамы:

,

,

,

,

Составляем систему уравнений метода конечных разностей. Система образуется путем наложения бигармонического оператора (9-а) на каждый внутренний узел сетки и приравниваем результат нулю.

Рисунок 15. Функция напряжений в узлах сетки.

Для удобства составления системы уравнений значения функции напряжений на границе, за контуром и внутри области изобразим так, как это показано на рисунке 15. Для приведенного примера система уравнений конечных разностей имеет вид:

Система уравнений является симметричною относительно главной диагонали (обозначена в таблице стрелками) или может быть приведена к симметричному виду путем линейных преобразований уравнений. Точки 1, 2, 5, 6 равноправны, поэтому главные коэффициенты при функциях напряжений в в этих точках одинаковы, одинаковы также главные при функциях напряжений точек 3 и 4. Ниже приведены коэффициенты системы уравнений в виде таблицы

Решение системы проводим на ЭВМ с использованием стандартных попрограмм. Нами использована подпрограмма решения системы линейных алгебраических уравнений на языке Фортран. Перед использованием подпрограммы свободные членв системы нужно перенести направо. Т.к. в свободных членах системы имеется сомножитель, численное значения которого не задано (в приведенном примере это ), то все свободные члены системы раделим на этот сомножитель, а результат, выданный ЭВМ, помножим на него, т.е. на .

Для вычисления напряжений используем формулы Эри (2) и конечно – разностные представления производных (6-а), (7-а) и выражения (12) или (13) для касательных напряжений. Результаты вычислений приведены на схеме балки – стенки. В узловых точках записаны значения функции напряжений, а ниже значения напряжений . В приведенном примере опущены размерности функции напряжений и напряжений .

По полученным значениям напряжений строим эпюры. Эпюры удобно строить на вертикальных линиях, которые проходят через узлы сетки, эпюры - на горизонтальных, - на вертикальных и горизонтальных (Рис. 17, 18, 19).

Рисунки 17, 18, 19

По эпюрам видно, что напряжения на контуре равны нагрузкам; метод сеток размазывает нагрузки. На рисунке 19 пунктиром показана заданная, а сплошной линией полученная нагрузка. Их сопоставление показывает, что граничные условия выполняются неточно, хотя равнодействующая полученного нагружения равна заданной нагрузке. При увеличении шага сетки граничные уловия выполняются более точно.

Производим проверку правильности построенных эпюр, рассматривая равновесие отсеченной части. Сечения проводим по внутренним узлам сетки. Для проверки эпюры рассматриваем вертикальные сечения (Рис. 20), для проверки -горизонтальные сечения (Рис. 22)

Проверка (Рис. 20)

Проверка (Рис. 21)

Проверка (Рис. 22)

Проверку эпюры удобновыполнять,рассматривая равновесие такой части конструкции, на которую дейсивует сдвигающая нагрузка (Рис. 21). Если нагрузка симметричная, то для проверки делают сложное сечение, например, вырезают угол вертикальными и горизонтальными линиями. Проверка эпюры касательных напряжений выполняется не точно, потому что принятый для расчета шаг сетки достаточно большой. При уменьшении шага сетки точность эпюры возростает.

Дата добавления: 2014-01-14; Просмотров: 537; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!