Пределом. Связь между определённым и неопределённым интегралом

Определённый интеграл с переменными верхним

Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке . Тогда есть число, не зависящее от переменной интегрирования. Поэтому в определённом интеграле переменную интегрирования можно обозначить любой буквой:

(если ).

Рассмотрим отрезок , где . Раз функция интегрируема на , то она интегрируема на , но на этом отрезке верхний предел интегрирования будет переменным:

.

Рис. 15.

При этом каждому значению соответствует единственное значение определённого интеграла. Таким образом интеграл с переменным верхним пределом есть функция верхнего предела:

. (9)

(При можно рассматривать как площадь заштрихованной криволинейной трапеции).

Теорема. Если функция f (x) непрерывна на отрезке , то функция дифференцируема на , причём

.

Т.е. есть первообразная для f (x) на . Производная от определённого интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой аргумент t заменяется на х: .

(11)

Формула (11) устанавливает связь между неопределённым и определенным интегралами.

Дата добавления: 2014-01-14; Просмотров: 1764; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!