Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа

Теорема: Пусть функция y=f(x) – n+1 раз дифференцируема в О(х₀), тогда в некоторой О_ε(х₀)

#

где с лежит между х и x_n

Доказательство: Применим теорему Коши о двух функциях к следующим функциям

g(x)=f(x)-T_n(x)$

g(x)=(x-x₀)ⁿ⁺¹

g(x₀)=0; g’(x₀)=0,…,g⁽ⁿ⁾(x₀)=0; g⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)

g’(x₀)=(n+1)(x-x₀)ⁿ|_x=0=0; g⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=(n+1)!

[a,b]g(x);(a,b)g(x);g’(x)¹0

* o’º1 x²ⁿ⁺²=x·x²ⁿ⁺¹=o(x²ⁿ⁺¹⁾

# - остаточный член в форме Лангранджа

$ -T_n(x) – многочлен Тейлора

Дата добавления: 2014-01-14; Просмотров: 367; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!