Выражение смешанного произведения векторов через их координаты

Пусть заданы три вектора , и .

Найдем смешанное произведение , используя уже известные формулы для нахождения векторного и скалярного произведений:

Итак, получили формулу нахождения смешанного произведения через координаты векторов , и :

Например, найти , если , и .

Решение: .

Некоторые приложения смешанного произведения векторов.

1. Взаимная ориентация векторов в пространстве.

Если , то - правая тройка векторов;

Если , то - левая тройка векторов.

2. Объём параллелепипеда и треугольной пирамиды.

Напомним формулы нахождения объёма параллелепипеда и треугольной пирамиды:

, где - площадь основания параллелепипеда, - высота параллелепипеда. Таким образом, .

, где - площадь основания треугольной пирамиды, - высота треугольной пирамиды. Таким образом, . Значит, .

, где

для правой тройки векторов и

для левой тройки векторов .

Таким образом, .

В общем случае, .

Итак, и , т.е.

Дата добавления: 2014-01-14; Просмотров: 884; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!