Понятие метрического пространства

Лекция 6.

«Понятие метрического пространства.

Теоретическое обоснование метода простых итераций.»

Общая идея многих итерационных методов заключается в непосредственном построении последовательных приближений с помощью некоторого рекуррентного соотношения при заданном начальном приближении. При этом важным моментом является проблема сходимости, для исследования которой нам потребуются некоторые факты из функционального анализа.

Определение 2.1. Множество X называется метрическим пространством, если для любых x, y, принадлежащих X, определено число , удовлетворяющее следующим условиям:

1. (аксиома тождества).

2. (аксиома симметрии).

3. для любого (аксиома треугольника).

Число называется метрикой или расстоянием между элементами x и y, которое определяет сходимость в пространстве X. Последовательность элементов сходится к некоторому элементу , если при .

Определение 2.2. Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной или сходящейся в себе, если при .

Очевидно, что всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной, так как (по правилу треугольника).

Обратное утверждение верно не всегда. Например, последовательность рациональных чисел является фундаментальной в метрике , но в пространстве рациональных чисел не является сходящейся, так как – иррациональное число.

Определение 2.3. Метрическое пространство X называется полным метрическим пространством, если в нем каждая фундаментальная последовательность является сходящейся.

Примеры.

1. Арифметическое n -мерное пространство с метрикой , где , , является полным метрическим пространством (по критерию Коши).

2. Пространство непрерывных на функций с чебышевской метрикой есть полное метрическое пространство (по критерию Коши равномерной сходимости последовательности функций).

3. Любое замкнутое подмножество полного метрического пространства является в свою очередь полным метрическим пространством (Так, например, отрезок – полное метрическое пространство).

4. Метрическим, но неполным пространством является пространство рациональных чисел.

5. Полуинтервал не является полным метрическим пространством, так как фундаментальная последовательность не сходится в нем.

Дата добавления: 2014-01-14; Просмотров: 423; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!