Пример. Округляя точное число до двух значащих цифр, получим

Округляя точное число до двух значащих цифр, получим . Погрешность округления менее . Округляя точное число до трех значащих цифр, получим приближенное значение . Погрешность округления не превышает .

На первый взгляд, последнее определение может показаться «примитивным». Однако это не так. Чтобы пояснить почему, рассмотрим задачу.

Задача.

Вычислить приближенно сумму ряда с точностью . Из курса анализа известно, что, если ряд является знакочередующимся и его члены убывают по абсолютной величине, то достаточно найти тот член ряда, который по модулю меньше, чем e, и, сложив все предыдущие члены, мы получим приближенное значение суммы с необходимой точностью. Наш ряд удовлетворяет этим условиям. , , , , , . (Мы здесь округляли промежуточные значения до шестого знака после запятой для того, чтобы промежуточные округления не повлияли бы на окончательный ответ.) Модуль четвертого члена меньше, чем e, поэтому

.

Округляя результат до третьего знака после запятой, чтобы в ответе оставить только значащие цифры в широком смысле, получаем: . Мы можем оценить абсолютные погрешности этих двух приближений, так как числовой ряд представляет бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, и мы можем посчитать точное значение суммы.

;

;

.

Видно, что абсолютная погрешность первого приближения, как и должно быть, меньше e. Абсолютная же погрешность второго, округленного приближения, вследствие погрешности округления, больше заданной точности.

Найти какую-либо величину (корень уравнения, интеграл и т.п.) с точностью e, это означает найти такое приближенное значение величины, абсолютная погрешность которого строго меньше e. При этом обычно берут , где . Причем окончательный результат округляют до n знаков после запятой. Таким образом, появляется погрешность округления, которая меньше либо равна . Поэтому договоримся при решении любой задачи каким-либо численным методом вместо e брать величину так, чтобы окончательный округленный результат имел абсолютную погрешность, строго меньшую e.

Вернемся к задаче. Будем теперь сначала искать сумму ряда с точностью . , а . Поэтому

.

Округляя результат до третьего знака после запятой, получаем: . Причем .

[AN1] Погрешность суммы и разности приближенных чисел.

Теорема 1.1. Предельная абсолютная погрешность суммы нескольких приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.

Теорема 1.2. Предельная абсолютная погрешность разности приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Таким образом, если , , то , .

Дата добавления: 2014-01-14; Просмотров: 460; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!