Метод Ньютона. Пусть начальное приближение известно

Пусть начальное приближение известно. Заменим отрезком ряда Тейлора

и за следующее приближение возьмем корень уравнения , т.е.

. (4.8)

Вообще, если итерация известна, то следующее приближение в методе Ньютона определяется по правилу

, (4.9)

Метод Ньютона называют также методом касательных, так как новое приближение является абсциссой точки пересечения касательной, проведенной в точке к графику функции , с осью Ох.

Метод Ньютона имеет квадратичную сходимость, т.е. погрешность на следующей итерации пропорциональна квадрату погрешности на предыдущей итерации: . Быстрая сходимость метода Ньютона гарантируется лишь при очень хороших, т.е. близких к точному решению, начальных приближениях. Если начальное приближение выбрано неудачно, то метод может сходиться медленно, либо не сойдется вообще.

Модифицированный метод Ньютона

, (4.10)

применяется в том случае, когда хотят избежать многократного вычисления производной . Метод (4.10) предъявляет меньше требований к выбору начального приближения , однако обладает лишь линейной сходимостью, т.е. .

Метод (4.10) гарантирует отсутствие деления на нуль, если .

Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 311; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!