Метод Гаусса вычисления определенных интегралов

В предыдущем параграфе предполагалось, что узлы квадратурных формул заданы заранее. Можно показать, что если использовать узлов интерполяции, то получим квадратурные формулы, точные для алгебраических многочленов степени . Оказывается, что за счет выбора узлов можно получить квадратурные формулы, которые будут точными и для многочленов степени выше . Рассмотрим следующую задачу: построить квадратурную формулу

, (3.29)

которая при заданном была бы точна для алгебраического многочлена возможно большей степени. Здесь для удобства изложения нумерация узлов начинается с .

Такие квадратурные формулы существуют. Они называются формулами Гаусса. Эти формулы точны для любого алгебраического многочлена степени .

Итак, потребуем, чтобы квадратурная формула (3.29) была точна для любого алгебраического многочлена степени . Это эквивалентно требованию, чтобы формула была точна для функций , . Отсюда получаем условия

, , (3.30)

которые представляют собой нелинейную систему уравнений относительно неизвестных

.

Для того, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных, надо потребовать .

При рассмотрении квадратурных формул (3.29) общего вида, введем многочлен

. (3.31)

Будем полагать, что .

Теорема 1. Квадратурная формула (3.29) точна для любого многочлена степени тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. Многочлен ортогонален с весом любому многочлену степени меньше , т.е.

. (3.32)

2. Формула (3.29) является квадратурной формулой интерполяционного типа, т.е.

, . (3.33)

Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 438; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!