Интегральная формула Коши и ее следствие

Пусть регулярна в области D, замкнутая кривая C лежит в области D и ограничивает область . Пусть . Рассмотрим в области D функцию . Функция регулярна в области D, и следовательно, согласно интегральной теореме Коши . Поэтому . Таким образом, зная значения регулярной функции на границе C области , легко получить значения этой функции в любой внутренней точке области :

,

где обход кривой производится в положительном направлении.

Согласно полученной формуле регулярную внутри области, ограниченной границей C, функцию можно представить в виде

,

где – точки кривой C, обходимой так, что область регулярности остается слева. Это и есть интегральная формула Коши.

Правая часть интегральной формулы Коши зависит от переменного и может быть продифференцирована по сколь угодно раз, если :

.

Таким образом, регулярная в области (то есть однозначная и имеющая производную первого порядка по переменному в каждой точке области) функция оказывается дифференцируемой по этому переменному сколь угодно раз.

Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 571; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!