Складне відношення чотирьох прямих пучка

П(О)+ Т

Складним відношенням чотирьох прямих пучка називається складне відношення чотирьох точок перетину будь-якої прямої з прямими пучка

a b c d

(аb,сd)=(АВ,СD)= (А^!В^!,С^!D^!)

Знаходження складного відношення чотирьох точок прямої через їх координати відносно репера на площині

A₂ P₂, R=(A₁,A₂,A₃,E) P₂

M(m₁,m₂ , m₃ )

N(n₁, n₂, n₃ )

K(k₁, k₂, k₃ ) R

P(p₁, p₂, p₃ )

A₁ M₂, N₂, K₂, P₂, E₂ A₃

M N

K P d

M---------M₂ M₂(m₁,m₃)
N---------N₂ A₁A₃ N₂(n₁,n₃)

K---------K₂ K₂(k₁,k₃) R₂=(A₁, A₃,E₂ )

P----------P₂ P₂(p₁,p₃)

За теоремою про складне відношення чотирьох прямих пучка

(MN, KP)=(M₂N₂,K₂P₂)=

Повний 4-вершинник

Означення: Повним 4-вершинником називається фігура, яка складається з чотирьох точок проективної площини загального положення та шести прямих, які попарно з’єднують ці точки.

B - 4-вершинник

і

A і протилежні сторони

Y і

C

D

діагональні точки діагоналі

Теорема:1) На кожній діагоналі повного 4-вершинника є

четвірка гармонійних точок: дві з яких є діагональними, а дві

інші – це точки перетину цієї діагоналі з протилежними

сторонами, що проходять через третю діагональну точку;

В

А - повний 4-вершинник

Y

С

D

Пучок перетнуто прямими і

Чому?

Пучок перетнуто прямими і

Чому?

якщо отже

(3)

суперечність умові гармонічна четвірка

2) з (1),(3)

На кожній стороні повного 4-вершинника є четвірка гармонічних точок:

дві з них – вершини, одна діагональна, одна – точка перетину цієї сторони

з діагоналлю, що проходить через дві інші діагональні точки;

3)

Кожна діагональна точка є центром пучка гармонічних прямих, дві з

яких – протилежні сторони, дві інші – діагональні прямі.