Основные понятия. Основные понятия, включенные в систему тренинг-тестирования:

Тема 8. Ряды

Основные понятия, включенные в систему тренинг-тестирования:

числовой ряд; элементы ряда; частная сумма ряда; сходимость ряда; расходящиеся ряды; геометрический ряд; гармонический ряд; остаток ряда; признак Даламбера; интегральный признак; признак Коши; степенной признак; знакопеременный ряд; знакочередующийся ряд; признак Лейбница; абсолютная сходимость ряда; функциональный ряд; область сходимости; равномерная сходимость ряда; степенной ряд; множество сходимости; радиус сходимости; Ряд Тейлора; кусочно-дифференцируемая функция; ортогональные функции; гармонический анализ; коэффициенты Фурье; ряд Фурье.

Пусть ‑ последовательность действительных чисел. Рассмотрим последовательность , построенную следующим образом:

;

;

;

;

Последовательность удобно записывать в виде . Такую последовательность называют числовым рядом. Числа называют членами или элементами ряда. Числовой ряд задают обычно перечислением его элементов или указанием формулы, с помощью которой для заданного можно вычислить -й член ряда.

Пример. Ряд имеет -й член .

Поэтому

т.е. .

Рассмотрим ряд

(1)

Сумму называют -й частной суммой ряда (1). Если последовательность частных сумм ряда (1) сходится, то ряд (1) называют сходящимся, а число называют суммой ряда. Если же последовательность не имеет конечного предела, то ряд (1) называют расходящимся.

Пример. Рассмотрим ряд . Для него , что представляет собой сумму первых членов геометрической прогрессии.

Если , то и .

Если , то и .

Если , то и .

Если , то

и не существует.

Таким образом, ряд при сходится и расходится при . Этот ряд называется геометрическим.

Пусть ряд (1) сходится и ‑ его сумма. Поскольку

,

(2)

то при получаем .

Откуда следует необходимое условие сходимости ряда: если ряд сходится, то

.

(3)

Если условие (3) не выполнено, то ряд расходится.

Пример. Ряд расходится, т.к. и .

Условие (3) не является достаточным для сходимости рядя. Даже если оно выполнено, ряд может расходиться. Покажем это на примере гармонического ряда . Для этого ряда при , т.е. условие (3) выполнено. В то же время,

,

.

Поэтому .

Предположим, что гармонический ряд сходится и ‑ его сумма, т.е. при . Поскольку , то при получаем ‑ противоречие. Значит, предположение о сходимости гармонического ряда было неверным.

Несколько первых членов ряда не влияют на его сходимость. Если у ряда (1) удалить несколько первых членов, то получим ряд , называемый остатком ряда (1). Сходимость ряда равносильна сходимости его любого остатка.

Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 274; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!