Полные дифференциалы и частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала

Задача вычисления полного дифференциала второго порядка функции может быть решена следующим образом. Если выражение полного дифференциала также является дифференцируемым, то вторым полным дифференциалом (или полным дифференциалом второго порядка) можно считать выражение, полученное в результате применения операции дифференцирования к первому полному дифференциалу, т.е. . Аналитическое выражение для второго полного дифференциала имеет вид:

С учетом того, что смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, формулу можно сгруппировать и представить виде квадратичной формы:

Матрица квадратичной формы равна

Пусть задана суперпозиция функций , определенной в и , определенных в . При этом . Тогда если и имеют непрерывные частные производные до второго порядка в точках и , то существует второй полный дифференциал сложной функции следующего вида:

, т.е.

Как видно, второй полный дифференциал не обладает свойством инвариантности формы. В выражение второго дифференциала сложной функции входят слагаемые вида , которые отсутствуют в формуле второго дифференциала простой функции.

Построение частных производных функции более высоких порядков можно продолжать, выполняя последовательное дифференцирование этой функции:

, где индексы принимают значения от до , т.е. производная порядка рассматривается как частная производная первого порядка от производной порядка . Аналогично можно ввести и понятие полного дифференциала порядка функции как полного дифференциала первого порядка от дифференциала порядка : .

В случае простой функции двух переменных формула для вычисления полного дифференциала порядка функции имеет вид

.

Применение оператора дифференцирования позволяет получить компактную и легко запоминающуюся форму записи для вычисления полного дифференциала порядка функции , аналогичную формуле бинома Ньютона. В двумерном случае она имеет вид: .