Дискретные двумерные случайные величины

Пусть Х, Y – две дискретные случайные величины, имеющие следующие законы распределения соответственно:

p_{i ·}= P (X = x_i) (x ₁< x ₂< …), p _{· j} = P (Y = y_j) (y ₁< y ₂< …), .

Двумерная с.в. (Х, Y) называется дискретной двумерной случайной величиной (или дискретно распределенной двумерной случайной величиной).

Закон распределения двумерной дискретной с.в. может быть задан в виде функции , где .

Если с.в. Х принимает конечное множество значений x ₁, x ₂, …, x_n, а Y – конечное множество значений y ₁, y ₂, …, y_m , то закон распределения задают обычно в виде таблицы 6.1. В этой таблице

, .

Заметим, что первая и последняя строки таблицы 6.1 задают закон распределения с.в. Y, а первый и последний столбцы – закон распределения с.в. Х.

Таблица 6.1

	y 1	y 2	×××	ym	å
x 1	p 11	p 12	×××	p 1 m
x 2	P 21	p 22	×××	p 1 m
×××	×××	×××	×××	×××	×××
xn	pn 1	pn 1	×××	Pnm
å			×××

Непрерывно распределенные двумерные случайные величины

Если функция распределения F (x, y) непрерывна и существует такая неотрицательная интегрируемая функция р (x, y), что выполняется равенство

, (6.1)

то двумерная с.в. (Х, Y) называется непрерывно распределенной двумерной с.в. (или непрерывной двумерной с.в.). Функция р (x, y) называется плотностью распределения двумерной с.в. (Х, Y).

Равенство (6.1) позволяет по плотности распределения найти функцию распределения. Следовательно, закон распределения двумерной с.в. может быть задан как при помощи функции распределения, так и при помощи плотности распределения.

Плотность распределения непрерывной двумерной с.в.

Свойства плотности распределения.

1) р (x, y) ³ 0;

2) свойство нормировки ;

3) , если р (x, y) непрерывна в точке (x, y);

4) , , где – плотности одномерных с.в. Х и Y соответственно;

5) , где D – множество на плоскости, имеющая площадь.

Формула 5 означает, что вероятность попадания двумерной с.в. в область D равна двойному интегралу от плотности.

Первое свойство следует из определения плотности распределения.

Свойство нормировки следует из того, что

.

Третье свойство следует из формулы (6.1) по правилу дифференцирования интеграла по верхнему пределу интегрирования.

Четвертое свойство следует из следующей цепочки равеннств:

.

Пятое свойство примем без доказательства.

Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 665; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!