Обратная матрица. Вспомнить понятия противоположных и обратных чисел

Вспомнить понятия противоположных и обратных чисел

Пусть - квадратная матрица порядка .

Определение 1.13. Матрица называется обратной к матрице , если имеет место равенство

.

Из определения следует, что также является квадратной порядка .

Замечание. Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц, однако не для каждой квадратной матрицы существует обратная. Приведём критерий существования обратной матрицы.

Определение 1.14. Матрица называется невырожденной, если её определитель отличен от нуля (). В противном случае матрица называется вырожденной.

Определение 1.15. Матрица , состоящая из алгебраических дополнений к элементам матрицы , называется союзной (или присоединённой) к .

Теорема 1.1. Для существования у матрицы обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной.

Доказательство. Необходимость (известно, что существует матрица, обратная к ; надо показать, что определитель отличен от нуля). По определению обратной матрицы . По свойству 7 определителей , следовательно каждый из определителей и отличен от нуля.

Достаточность (известно, что определитель отличен от нуля; надо показать, что существует матрица, обратная к ) Рассмотрим матрицу . По следствию из свойства 6 определителей =, следовательно - диагональная матрица вида

и, кроме того, . Таким образом, матрица является обратной к матрице , поскольку .

Замечание. Из доказательства теоремы вытекает схема нахождения матрицы, обратной к матрице : 1) вычислить и убедится, что он отличен от нуля (в противном случае обратной матрицы не существует); 2) найти союзную матрицу (матрицу из алгебраических дополнений; 3) записать матрицу , пользуясь формулой ; 4) сделать проверку, подставив полученное значение в соотношение (определение обратной матрицы).

Пример 1.7. Пусть .Найти .

Решение. 1) (смотри пример 1.6), следовательно, обратная матрица существует; 2) ; ; ;

; ; ;

; ; ;

Таким образом, =, и, следовательно,

3) =. Проверку выполнить самостоятельно!

Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 461; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!