ТЕМА: Кинематический анализ механизмов

Рис. 5.2

Рис. 5.4

Положение точки с (конец вектора скорости точки С) определяем на плане скоростей по теореме подобия (третье свойство планов скоростей). На отрезке ab плана скоростей строим треугольник аbс, подобный треугольнику ABC звена 2. Определяем длины отрезков ас и bc из пропорций

и

Поскольку АС = ВС, то

мм.

Из точек а и b плана скоростей радиусами, равными со­ответственно отрезкам ас и bc, делаем засечки. Получив две точки пересечения этих дуг, справа и слева от вектора . За точку с плана скоростей следует взять ту из полу­ченных точек, при которой порядок букв в треугольниках abc и ABC будет одинаковым. Так, например, при обходе сторон ABC звена 2 по направлению вращения часовой стрелки читаем: АС В. Порядок букв в треуголь­нике abc при обходе сторон треугольника также по часовой стрелке должен сохраниться а с b. Следовательно, точка с плана скоростей будет слева от вектора .

Соединяем полюс плана скоростей р с точкой с и опре­деляем величину скорости точки С:

м/с.

Согласно тому же свойству планов скоростей находим положение точки d на плане исходя из пропорции:

В этом случае фигура относительных скоростей o₂db на плане скоростей будет прямой по подобию с прямой О₂B механизма:

мм.

Определив положение точки d на плане скоростей, нахо­дим величину скорости точки D

м/с.

Скорость точки Е шатуна DE представляем в виде век­торной суммы переносной и относительной скоростей. Для ееопределения воспользуемся векторными уравнениями:

(3)

(4)

где — скорость точки D в переносном движении; — относительная скорость точки Е во вращении вокруг точки D; — скорость точки Е₀, принадлежащей стойке и совпадающей в данный момент с точкой Е ползуна; — скорость точки Е в поступательном движении относительно точки Е₀.

В этих уравнениях скорость известна по величине и направлению, скорость = 0. Относительные скорости и известны лишь по линиям действия: пер­пендикулярна к звену DE, параллельна оси направ­ляющих ползуна. Для определения скорости точки Е через точку d плана скоростей проводим перпендикулярно звену DE линию действия скорости , а через точку е₀, совпадающую с полюсом плана р параллельно оси направляющих ползуна (х — х) — линию действия скорости . Точка е пересечения этих линий действия опреде­ляет конец вектора скорости точки Е. Величина ско­рости

м/с.

Вектор de определяет величину и направление ско­рости

м/с.

Для определения скоростей центров масс звеньев пользуемся теоремой подобия (третье свойство планов скоростей): находим на плане точки s₂, s₃, s₄, подобные центрам тяжести звеньев S₂, S₃ и S_4. Из полюса р в эти точки проводим векторы. Определяем величины скоростей центров тяжести:

м/с;

м/с;

м/с.

Переходим к определению угловых скоростей звеньев. Угловая скорость ω₁ ведущего звена известна по величине и направлению (ω₁ = 12,56 1/с и это звено вращается по часовой стрелке).

Чтобы определить угловую скорость ω₂ звена АВ, рас­смотрим вращение точки В вокруг точки А. Направление скорости точки В во вращении вокруг точки А опреде­ляется направлением вектора . Мысленно переносим этот вектор в точку В механизма и считаем точку А как бы неподвижной. Точка В в направлении вектора враща­ется относительно точки А против часовой стрелки, что и определяет направление вращения звена АВ. Находим величину угловой скорости второго звена по формуле

1/c.

При определении направления угловой скорости ω₃ по­ступаем аналогично. Перенесенный в точку В звена O ₂ В вектор показывает, что точка В вращается относительно точки O ₂ по часовой стрелке. Это определяет направление угловой скорости третьего звена

1/с.

Чтобы определить угловую скорость ω₄ звена DE, мысленно переносим вектор скорости в точку Е. В направлении вектора точка Е вращается относительно точки D, которую считаем как бы неподвижной, против часовой стрелки, что и определяет направление вращения звена DE. Величина этой угловой скорости

1/с.

Угловая скорость ползуна 5, совершающего прямоли­нейное поступательное движение, равна нулю.

План ускорений. По аналогии с планами скоростей при помощи планов ускорений можно найти ускорения любых точек механизма. При построении планов ускорений также следует пользо­ваться их изображающими свойствами, заключающимися в следующем:

1. Векторы, исходящие из полюса, изображают абсолютные ускорения соответствующих точек механизма в масштабе плана ускорений. Точки плана ускорений, соответствующие точкам, ускорения которых равны нулю, располагаются в полюсе.

2. Векторы, соединяющие концы векторов абсолютных ускорений, выражают в том же масштабе полные относи­тельные ускорения.

3. Полные относительные ускорения на плане ускоре­ний образуют фигуру, подобную одноименной жесткой фи­гуре на плане положения механизма, но повернутую по от­ношению к последней на некоторый угол 180° — в сто­рону мгновенного углового ускорения данного звена, где

Поскольку полные относительные ускорения состоят из геометрической суммы тангенциальных и нормальных составляющих, то обычно концы векторов абсолютных ускорений на планах ускорений обозначают буквами, соответствующими названию точек. Концы векторов нормаль­ных составляющих ускорения обозначают другими буквами, не встречающимися в обозначениях точек механизма.

Пример Методом планов ускорений определить абсо­лютные и относительные ускорения точек звеньев и угло­вые ускорения звеньев механизма (рис. 5.2 ).

Решение. Определим ускорение точки А. Поскольку звено O ₁ A вращается равномерно где и , то точка А имеет только нормальное ускорение, которое направлено по звену O ₁ A к центру вращения. Величина этого ускорения:

м/с.

Выбираем длину отрезка р'а', изображающего вектор ускорения точки А, тогда масштаб плана ускорений

м/смм.

Из произвольной точки р', принятой за полюс плана ускорений, откладываем параллельно звену О ₁ А в направ­лении от точки А к точке О ₁ отрезок р'а' (рис. 5.4).

Ускорения точек О ₁ и O ₂ механизма равны нулю, сле­довательно, точки о' ₁ и о ₂ будут совпадать с полюсом плана ускорений.

Рассматриваем движение точки В со звеньями АВ и BO ₂ и по аналогии с планом скоростей составляем векторные уравнения:

(5)

(6)

Полные относительные ускорения и , представ­ляем в виде суммы двух составляющих — нормальной, направленной по оси соответствующего звена к центру вра­щения в относительном движении, и тангенциальной, пер­пендикулярной к этому звену. Тогда уравнения (5) и (6) можно записать в следующем виде:

В этих уравнениях ускорение а_А известно по величине и по направлению, ускорение = 0.

Определяем величины нормальных ускорений:

м/с;

м/с.

Ускорение направлено по оси звена АВ от точки В к точке А, ускорение — по оси звена O ₂ В от точки В к точке O ₂.

Относительные тангенциальные ускорения известны только по линиям их действия. Ускорение перпенди­кулярно звену АВ, а ускорение перпендикулярно звену O ₂ В. Величины и направления тангенциальных ускорений определяем путем построения плана ускорений.

От точки а' плана ускорений параллельно звену АВ в направлении от точки В к точке А откладываем векторизображающий ускорение . Длина этого отрезка

мм.

Через точку п ₁ проводим перпендикулярно к звену AB линию действия тангенциального ускорения . Затем от точки о' ₂ плана ускорений, совпадающей с полюсом р', параллельно звену O ₂ В в направлении от точки В к точке O ₂ откладываем вектор , изображающий ускорение . Определим длину этого отрезка:

мм.

Через точку п ₂ проводим перпендикулярно звену O ₂ В линию действия тангенциального ускорения . На пересечении линий действия ускорений и получим точку b — конец вектора р'b', изображающего ускорение точки В механизма:

м/с.

Точка b' определяет также концы векторов и танген­циальных ускорений и :

м/с;

м/с.

Вектор изображает полное относительное ускорение точки В во вращении вокруг точки А:

м/с.

Вектор полного ускорения точки В во вра­щении относительно точки O ₂ механизма совпадает с век­тором абсолютного ускорения точки В. Следова­тельно:

м/с.

Исходя из третьего свойства планов ускорений а'b'с' - относительных ускорений должен быть подобен ABC звена 2, т. е. можно составить пропорции

и .

Поскольку АС =ВС, то

мм.

Из точек а' и b' плана ускорений радиусами, равными соответственно длинам отрезков а'с' и b'с', делаем засечки. Из полученных точек пересечения засекающих дуг (слева и справа от вектора ) в качестве точки с' выбираем точку, расположенную слева, так как при этом порядок букв при обходе треугольника а'b'с' плана ускорений и треуголь­ника ABC механизма будет одинаковым. Соединив полюс плана ускорений с точкой с', получаем вектор абсолютного ускорения точки С механизма:

м/с

Находим положение точки d' на плане ускорений исходя из пропорции

откуда

Следовательно, абсолютное ускорение точки D

м/с.

Для определения ускорения точки Е воспользуемся векторными уравнениями:

(7)

(8)

где — абсолютное ускорение точки D; — полное относительное ускорение точки Е во вращении вокруг точки D; — ускорение точки Е₀, принадлежащей стойке и совпадающей в данный момент с точкой Е ползуна; — ускорение точки Е в поступательном движении относительно точки E₀. В этих уравнениях:

а) ускорение известно по величине и по направ­лению;

б) полное относительное ускорение представляем состоящим из нормальной и тангенциальной со­ставляющих, тогда уравнение (8) принимает вид:

где нормальное ускорение

м/с

направлено по оси звена DE от точки Е к точке D.

Для тангенциального ускорения известна только линия его действия, перпендикулярная к звену DE;

в) ускорение = 0;

г) ускорение известно по линии действия; оно направлено параллельно оси направляющих ползуна.

От точки d' плана ускорений параллельно звену DE в направлении от точки Е к точке D откладываем век­тор , изображающий нормальное ускорение , предварительно определив длину этого отрезка:

мм.

Поскольку его длина в выбранном масштабе плана ускорений не превышает 1 мм, то точки п ₃ и d' на плане совпадают.

Из точки п ₃ перпендикулярно звену DE проводим линию действия тангенциального ускорения . Поскольку ускорение равно нулю, то точка е'₀ на плане ускоре­ний совпадает с полюсом р'. Через точку е'₀ параллельно оси направляющих ползуна х — х проводим линию дей­ствия ускорения . Точка е' пересечения этих линий действия определяет конец вектора, изображающего абсо­лютное ускорение точки Е:

м/с.

Точка е' определяет также концы векторов = , изображающих тангенциальное и полное относительное ускорения:

м/с.

Вектор ускорения совпадает с вектором абсолютного ускорения точки Е. Следовательно,

м/с.

Зная положения центров тяжести S₂, S₃, S₄ на звеньях по аналогии с планом скоростей находим по правилу подобия соответствующие им точки , , на плане ускорений. Соединяем полученные точки с по­люсом плана ускорений и определяем ускорения центров тяжести:

м/с;

м/с;

м/с.

Определяем угловые ускорения звеньев. Угловое уско­рение ведущего звена О₁А, совершающего равномерное движение, равно ну­лю.

Угловое ускоре­ние звена 2

1/c.

Для определения направления углово­го ускорения зве­на 2 рассмотрим вра­щение точки В вокруг точки А. Перенесем мысленно вектор тангенциального ус­корения в точку В. В направлении этого вектора точка В вра­щается относительно точки А против часовой стрелки, что и определяет на­правление углового ускорения ₂.

Угловое ускорение звена О₂B направлено против часовой стрелки (по вращению точки В относительно точки O₂ в направлении вектора тангенциального ускорения ). Величина его определяется по формуле:

1/c.

Угловое ускорение звена DE направлено в соответ­ствии с круговой стрелкой, направленной против часовой стрелки (по вращению точки Е относительно точки D в направлении вектора тангенциального ускорения и определяется по формуле

1/c.

Звено 5 совершает поступательное движение, поэтому угловое ускорение ; ускорение его центра тяжести , совпадает по величине и направлению с ускорением точки Е.