Периодические функции и процессы

В различных технических процессах часто приходится рассматривать явления, которые периодически повторяются через определенный промежуток времени.

Процессы, которые повторяются через определенный промежуток времени называются периодическими. Примерами периодических процессов могут служить движения шатуна и поршня в двигателях, явления, связанные с распространением электромагнитных колебаний и многие другие. Периодические процессы встречаются в радиотехнике, теории и практике автоматического регулирования, теории упругости и др.

Изучение периодических процессов математически описывается периодическими функциями, т.е. величины, характеризующие такой периодический процесс, являются периодическими функциями от времени f(t).

Определение. Периодической функцией называется функция f(x), определенная на множестве D, и имеющая период , т.е. при каждом выполняется равенство .

Для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно построить его на любом отрезке длиной Т и периодически продолжить его на всю область определения.

Основные свойства периодической функции:

1. Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период Т, есть периодическая функция с периодом Т.

2. Если функция f(x) имеет период Т, то функция f(аx) имеет период ; действительно.

3. Если функция f(x) имеет период Т и интегрируема на отрезке , топри любых а и b принадлежащих отрезку .

Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции и . Период этих функций равен .

Простейшим периодическим процессом является простое гармоническое колебание, описываемое функцией

(5.1.1)

, где А - амплитуда колебания, - круговая частота, - начальная фаза.

Функцию такого вида называют простой гармоникой. Период колебаний простой гармоники равен , т.е. одно полное колебание совершается за промежуток времени (ω показывает сколько колебаний совершает точка в течение 2π единиц времени).

Проведем преобразование функции для простого колебательного процесса: ,

где использованы обозначения .

Получили, что простое гармоническое колебание описывается периодическими функциямии .

В результате наложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник возникает сложное гармоническое колебание, также описываемое функциями вида и . Рассмотрим функцию

Эта функция состоит из суммы периодических функций, каждая из которых имеет период 2π/n и задает сложное гармоническое колебание с периодом 2π.

Если какой-либо процесс имеет периодический характер, значит, описывающая его периодическая функция аналогична функции, представляющей собой сложное гармоническое колебание, состоящее из суммы простых гармоник.

Возникает вопрос: всякую ли периодическую функцию, описывающую периодический процесс, можно представить в виде суммы простых гармоник?

Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 2706; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!