Цилиндрическая система координат.

z

М

z

φ x

r

Положение точки М(x;y;z) в пространстве Оxyz можно определить заданием трех чисел r, φ, z, где r - длина радиус вектора проекции точки М на плоскость Оxy, φ - угол, образованный этим радиус-вектором с осью Оx, - аппликата точки М. Эти три числа (r; φ; z) называются цилиндрическими координатами точки М (рис. 17).

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями:

Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах вычисляем якобиан:

Формула перехода тройного интеграла из декартовых координат к цилиндрическим принимает вид

, где

К цилиндрическим координатам бывает удобно прейти, если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью, проекция цилиндрического тела на плоскость Oху является окружность, а также если подынтегральная функция имеет вид .

Пример: Вычислить , где область V ограничена верхней частью конуса и плоскостью .

Решение: Сделаем схематический чертеж области (рис. 18). Вычислим интеграл путем перехода к цилиндрическим координатам: . Уравнение конуса примет вид , т.е.

Уравнение окружности (границы области D (рис. 19)) запишется так: . Новые переменные изменяются в следующих пределах: r – от 0 до 1, φ – от 0 до 2π, а z – от r до 1 (прямая параллельная оси Оz, пересекающая область D, входит в конус и выходит из него на высоте z=1).

Таким образом, получаем

Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 2567; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!