Нормальный ряд

Докажем две теоремы о гомоморфизмах.

Теорема 2.8. Пусть H нормальный делитель группы G и P – подгруппа G. Тогда - нормальный делитель P и

Доказательство. Пусть и . Тогда так как H нормальный делитель G, и т.к все элементы из P. Следовательно, - нормальный делитель P. Соответствие является взаимно однозначным и сохраняет операцию. Теорема доказана.

Теорема 2.9. Пусть P – нормальный делитель и . Тогда T – нормальный делитель G и .

Доказательство. Рассмотрим , где ,. Поскольку , то , и, значит T – нормальный делитель G. Соответствие является взаимно однозначным, т.к. и сохраняет операцию.

Группа называется простой, если в ней нет нормального делителя отличного от нее самой и единичной подгруппы.

Нормальный ряд группы – последовательность подгрупп, в которой каждая следующая является нормальным делителем предыдущей. Если все группы нормального ряда содержатся в нормальном ряде , то говорят, что второй нормальный ряд получен уплотнением первого нормального ряда.

Нормальный ряд без повторений, который нельзя уплотнить называется композиционным.

Для нормального ряда определены факторы . Два нормальных ряда называются изоморфными, если все факторы первого ряда изоморфны факторам второго ряда переставленным в определенном порядке.

Свойство 2.13. Если нормальные ряды и изоморфны, то для каждого уплотнения первого ряда можно найти изоморфное ему уплотнение второго ряда.

Доказательство. Допустим, что между подгруппами и появились новые подгруппы . Поскольку и, значит, факторы изоморфны соответствующим подгруппам . Обозначим через соответствующую подгруппу . Определим последовательность групп , где i =1,…, t. По доказанной выше теореме . Таким образом, уплотнение второго ряда группами является изоморфным. свойство доказано.

Теорема 2.10 (Шрайер) Два нормальных ряда одной группы обладают изоморфными уплотнениями

Доказательство. Пусть - первый нормальный ряд, а - второй нормальный ряд. Если k =2 или s =2, то теорема очевидна. Докажем теорему для k =3 индукцией по s. Рассмотрим случай s =3. Ряды и изоморфны (т.к. и ) и являются уплотнениями исходных рядов. Пусть утверждение верно для s- 1, выведем его справедливость для s. По предположению индукции, ряды и обладают изоморфными уплотнениями. Ряд изоморфен , и, значит, для любого уплотнения найдется изоморфное уплотнение . Следовательно, утверждение теоремы при k =3 доказано для всех s. Пусть утверждение теоремы справедливо для k -1, покажем его справедливость для k. Ряды и обладают изоморфными уплотнениями. Пусть - уплотнение первого ряда. По предположению индукции ряды и обладают изоморфными уплотнениями. Следовательно, теорема доказана.

Следствие 2.5. Любые два композиционные ряда одной и той же группы изоморфны.

Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 298; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!