Лекція 3. Математичні доведення

Мета:

Основні питання:

1. Відношення рівнозначності між твердженнями.

2. Необхідні і достатні умови.

3. Структура і види теорем.

4. Дедуктивні міркування.

5. Найпростіші схеми дедуктивних міркувань.

6. Неповна індукція.

I. Відношення рівнозначності між твердженнями. Будь-яке міркування не обходиться без слів «випливає», «значить». Кажуть, що з твердження А випливає твердження В, якщо всякий раз, коли істинний вислів А, істинним є вислів В. наприклад, твердження «із того, що число а кратно 4, випливає, що воно кратно 2» можна сформулювати ще і так: всяке число, яке ділиться на 4, ділиться на 2, або якщо число ділиться на 4, то воно ділиться і на 2, число а ділиться на 4, значить воно ділиться на 2. Якщо із твердження А випливає твердження В, а із твердження В випливає твердження А, то кажуть, твердження А і В рівнозначні. Згідно цього означення твердження «трикутник «рівнобедрений» і «кути при основі трикутника рівні» є рівнозначними.

В – необхідна умова для А А – достатня умова для В

II. Необхідні і достатні умови. Якщо з твердження А випливає твердження В, то говорять, що В – необхідна умова для А, а А – достатня для В. іншими словами, вислів В називається необхідною умовою для А, якщо воно логічно випливає з А. вислів А називається достатньою умовою для В, якщо В з нього випливає. Якщо твердження А і В рівнозначні, то говорять, А – необхідна і достатня умова для В, і навпаки. Наприклад, в геометрії доведено, що з твердження «кути вертикальні» випливає твердження «кути рівні». тому згідно даному означенню можна сказати, що рівність кутів – необхідна умова для того, щоб кути були вертикальні, а вертикальність кутів є достатньою умовою для їх рівності. У зв‘язку з цим твердження «якщо кути вертикальні, то вони рівні» можна сформулювати інакше: для того, щоб кути були вертикальні, необхідно, щоб вони були рівні; для того, щоб кути були рівні, достатньо, щоб вони були вертикальні.

III. Структура і види теорем. Раніше було відокремлено, що суттєві властивості об‘єкта утворюють зміст поняття про цей об‘єкт. Частина цих властивостей включається в означення поняття. Щоб мати більш повне уявлення про об‘єкт, вивчають і інші його властивості. Властивості основних (первісних) понять розкривається в аксіомах – твердженнях, які приймаються без доведення. Наприклад, властивості основних понять геометрії: точка, пряма, площини включені в аксіоми. Взагалі система аксіом будь-якої теорії, розкриваючи властивості основних понять, дає, по суті, їх означення, які називаються аксіоматичними. Властивості, які доводяться, найчастіше називають теоремами, іноді слідствами, признаками. В алгебрі – формулами, тотожностями, правилами. Тому, теорема – це висловлення про те, що з властивості А випливає властивість В. істинність цього вислову встановлюється шляхом доведення. В якому б виді не була сформульована теорема, в ній завжди виділяється умова А(що задано) і висновок В (що треба довести). Теореми іназиваються оберненими одна до іншої, а теореми і називаються протилежними. Наприклад, для теореми «якщо кути вертикальні, то вони рівні» оберненою є «якщо кути рівні, то вони вертикальні», що являється хибність. Протилежною до заданої є «якщо кути не являються вертикальними, то вони не рівні» також є хибність. А ось обернена до протилежної «якщо кути не рівні, то вони не вертикальні» являється істиною. Встановлено, теореми і рівнозначні. Це називається законом контра позиції. Якщо задана теорема і і їй обернена являються вірними, то їх можна об‘єднати в одну за допомогою слів «тоді і тільки тоді» або «необхідно і достатньо».

IV. Дедуктивні міркування. Довести теорему - значить встановити логічним шляхом, що завжди, коли виконується властивість А, буде виконуватись і властивість В. доведення в математиці обладає рядом особливостей. Часто воно проводиться за правилами логіки без яких-то посилань на наглядність і дослід. В основі доведення лежить міркування – логічна операція, в результаті якої із одного чи декількох взаємозв‘язаних по змісту тверджень отримаємо твердження, яке містить нові (по відношенню до заданих) знання. В якості приклада розглянемо міркування першокласника, якому необхідно встановити відношення «менше» між числами 7 і 8. учень говорить: «, тому що 7 при рахунку називають раніше, ніж 8». На які ж факти він опирався, стверджуючи це. По-перше, якщо число а при рахунку називають раніше числа в, то для будь-яких натуральних чисел. І по-друге, 7 при рахунку називають раніше, ніж 8. перше твердження носить загальний характер, так як містить квантор спільності, його називають загальною посилкою. Друге твердження стосується конкретних чисел 7 і 8, відображає частинний випадок, його називають частковою посилкою. З двох посилок і випливає новий факт , його називають висновком. Міркування, між посилками і висновком якого має місце відношення слідування, називають дедуктивним. Іншими словами, міркування є дедуктивним, якщо за допомогою його з істинних посилок не можна отримати хибний висновок. Інакше міркування не являється дедуктивним.

Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 1338; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!