Признак Даламбера. Рассмотрим знакоположительный ряд

Рассмотрим знакоположительный ряд . Допустим, что имеется предел:Тогда при q <1 ряд А сходится, а при q >1 ряд А расходится. Случай q= 1 будет критическим, признак Даламбера не дает ответа.

Это удобный для практического применения признак.

Докажем сходимость ряда А при q <1. Поскольку q< 1, то существует q₀, удовлетворяющее неравенству q<q₀< 1. Далее, так как то существует N, такое что для всех n >N имеет место неравенство: , откуда . Распишем эти неравенства подробнее:

Остаток ряда А сравниваем с остатком геометрической прогрессии: , который сходится, ибо знаменатель q₀ этой прогрессии меньше единицы. Следовательно, остаток R_N тоже сходится, ибо его члены меньше членов сходящейся геометрической прогрессии. А если остаток R_N сходится, то сходится и сам ряд А.

Расходимость ряда А при q> 1 также следует из признака сравнения: что (n>N) т.е. члены остатка и так далее – члены нашего ряда превосходят члены расходящейся геометрической прогрессии, ряд А также расходится.

Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 292; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!