Лекция: Обработка результатов имитационного эксперимента

Классификация случайных процессов

Случайная величина зависящая от одного неслучайного вещественного аргумента , называется случайным процессом. является случайной величиной при каждом фиксированном

значении аргумента. Обычно (во всяком случае, для процессов, протекающих в технических системах) в качестве вещественного аргумента выступает время, поэтому случайный процесс будем обозначать .

Определим два понятия, присущие случайным процессам: сечение и реализация (рис. 3.20).

Сечением случайного процесса называется случайная величина являющаяся значением случайного процесса в фиксированный момент времени .

Реализацией случайного процесса называется функция времени описывающая течение процесса в некотором -м опыте.

Рис. 3.20. Реализации и сечения случайного процесса

Случайный процесс и аргумент могут быть дискретными или непрерывными.

Очевидно, вследствие особенностей представления информации в компьютере моделью случайного процесса будет модель дискретной последовательности дискретного случайного процесса. Следовательно, чтобы смоделировать реальный случайный процесс, необходимо выполнить следующее:

• разбить интервал исследования на M временных точек , которых должно быть столько, чтобы обеспечить необходимую точность воспроизведения исследуемого процесса;
• выполнить одну реализацию случайного процесса, то есть для каждого момента времени определить сечение, разыграв случайное число, обладающее характеристиками случайного процесса;
• определить аналогичные сечения для каждой из реализаций случайного процесса (число выбирается таким, чтобы обеспечить необходимые точность и достоверность результатов).

Случайные процессы могут быть:

• стационарные;
• нестационарные.

На практике часто встречаются случайные процессы, у которых все реализации однородны в вероятностном смысле. То есть значения всех сечений представляют собой случайные числа, одинаково распределенные с одинаковыми матожиданиями и дисперсиями:

Такие процессы называют стационарными.

Что касается автокорреляционной функции , то ее значение в стационарном процессе зависит только от разности и не зависит от того, в каком месте временной оси находятся точки и .

Для стационарного процесса нет необходимости определять искомые характеристики для всех сечений, а достаточно только для одного сечения реализаций случайного процесса. То есть вместо измерений выполнить только измерений. По данным этих измерений рассчитываются оценки и , которые в силу стационарности и являются оценками характеристик всего случайного процесса и .

Если сечения случайного процесса неоднородны в вероятностном смысле, то такой процесс называется нестационарным.

В работе модели стационарного процесса может присутствовать и нестационарный период. Это разного рода переходные процессы. Например, характеристики начального периода работы модели нестационарные из-за того, что начальные установки характеристик процесса были не равны характеристикам, значения которых установятся в дальнейшем. Естественно, речь идет о средних значениях характеристик.

Важнейшим свойством случайного процесса является свойство эргодичности.

Свойство эргодичности заключается в том, что все реализации случайного процесса имеют одинаковые статистические характеристики. Отсюда следует, что одна реализация случайного процесса характеризует весь случайный процесс следовательно, для определения статистических характеристик процесса достаточно выполнить одну реализацию.

Обычно рассматривают свойство эргодичности по отношению к одной какой-либо характеристике случайного процесса. Относительно оценки матожидания свойство эргодичности формально выглядит так:

Свойством эргодичностиобладают многие случайные процессы и, в том числе, все стационарные.

Таким образом, можно сформулировать определение эргодиче-ского процесса.

Случайный процесс называется эргодическим, если его основные характеристики и могут быть получены не только усреднением по множеству реализаций, но и усреднением по времени одной реализации.

Например, при изучении флуктуационного шума радиоприемников, представляющего собой стационарный случайный процесс, достаточно ограничиться измерением сечений в течение заданного времени в одном конкретном образце. Результаты, полученные при обработке данных измерений, могут быть распространены на все идентичные радиоприемники.

Современные системы имитационного моделирования предоставляют возможность выполнять автоматически стандартную обработку результатов моделирования: определение характеристик случайных параметров, главным образом, их матожиданий и дисперсий; фиксация минимальных и максимальных значений исследуемых величин; частотное распределение результатов измерений (построение гистограмм); расчет коэффициентов использования объектов модели и др. Часто инженеру приходится выполнять более сложную обработку: определение функциональных или статистических зависимостей между исследуемыми величинами; выявление существенных или несущественных факторов, участвующих в эксперименте; сравнение случайных параметров процесса с целью определения значимости расхождения или совпадения их характеристик и др. В наиболее развитых системах моделирования предусмотрены средства, обеспечивающие выполнение этих обработок. Но в любом случае инженер должен понимать сущность обработки, уметь правильно готовить исходные данные, грамотно интерпретировать результаты обработки. При наличии альтернатив обоснованно выбирать метод обработки и, при необходимости, разрабатывать соответствующие процедуры. 5.1. Характеристики случайных величин и процессов В результате эксперимента с имитационной статистической моделью, состоящего из наблюдений, мы получаем значений исследуемой случайной величины : По этим данным нужно дать всестороннее описание величины a. Определить случайную величину - это значит определить ее характеристики. В общем случае: где - оценка характеристики случайной величины. Под характеристикой понимают следующее. Во-первых, это характеристика величины: матожидание (среднее арифметическое); медиана (срединное значение); мода (наиболее вероятное значение); среднее геометрическое и др. В рамках задач, характерных для нашей профессии, наиболее актуальным является матожидание. Как известно, матожидание определяет центр рассеивания случайной величины, наиболее полно отмечающее ее положение на числовой оси. Будем обозначать матожидание случайной величины так: . Во-вторых, это характеристики рассеивания: дисперсия (матожидание квадрата отклонения случайной величины a); среднее квадратическое отклонение (квадратный корень из дисперсии); иногда целесообразно пользоваться этой характеристикой, так как она имеет размерность самой случайной величины; размах (). В-третьих, это характеристика связи между случайными величинами (корреляция); степень связи определяется величиной коэффициента корреляции . В случайном процессе связь между значениями случайной функции в моменты времени , определяет коэффициент автокорреляции В-четвертых, это характеристика закона распределения вероятностей случайной величины в виде плотности или функции распределения: или . 5.2. Требования к оценкам характеристик Ограниченное число реализаций модели не позволяет точно определить значения этих характеристик, а только приближенно, то есть так называемые оценки характеристик \Theta. Степень приближения оценок зависит от методов их вычислений (формул). Поскольку , где - случайные значения искомого параметра, то величина - случайная со своими значениями матожидания, дисперсии и т. п. Как правило, математическая статистика может предложить разные формулы для вычисления оценки одной и той же характеристики. Следовательно, оценки могут быть более или менее точными или даже вовсе непригодными при имитационном моделировании. Чтобы оценка наилучшим образом представляла искомую характеристику, нужно, чтобы она обладала следующими свойствами: несмещенностью; состоятельностью; эффективностью. Несмещенность. Это свойство означает, что оценка не содержит систематической ошибки. Т. е., математическое ожидание оценки совпадает с действительным значением характеристики : Состоятельность. Это свойство означает, что оценка приближается сколь угодно близко к истинному значению характеристики по мере увеличения объема выборки, т. е. увеличения числа реализаций модели. Формально это свойство записывают так: при и любом . Именно это свойство являлось определяющим при нахождении количественной связи между точностью, достоверностью оценок и числом реализаций модели. Эффективность. Это свойство означает, что из всех несмещенных и состоятельных оценок следует предпочесть ту, у которой разброс значений меньше. Иначе: эффективной оценкой характеристики случайной величины называют ту, которая имеет наименьшую дисперсию: - число возможных оценок. В исследовании свойств оценок большая заслуга принадлежит англичанину Рональду А. Фишеру. Основные результаты он получил в 1912 г., когда ему было 22 года. 5.3. Оценка характеристик случайных величин и процессов Наиболее используемые оценки характеристик приведены в табл. 5.1. Таблица 5.1. Характеристики случайных величин и их оценки Характеристика Оценка Среднее квадратическое отклонение оценки Матожидание Дисперсия Среднее квадратическое отклонение Вероятность события Коэффициент корреляции Все оценки несмещенные, состоятельные, эффективные. Проблемами оценок занимался и Абрагам Вайльд, американский математик австрийского происхождения. Приведем для иллюстрации два примера. Пример 5.1. Оценка матожидания случайной величины - среднее арифметическое является несмещенной, состоятельной и эффективной. Оценка в виде медианы не является эффективной, так как дисперсия в этом случае в раз больше дисперсии , равной, как известно, Пример 5.2. Выборочная дисперсия случайной величины состоятельна, эффективна, но смещена. Смещение образовалось из-за того, что вместо неизвестного в формуле стоит оценка Несмещенная оценка имеет вид: Иногда формулы для вычисления оценок матожидания и дисперсии используют в рекуррентной форме: где - оценки матожидания и дисперсии, вычисленные по данным и () реализаций имитационной модели. Приведенные в табл. 5.1,формулы соответствуют нормальному закону распределения вероятностей исследуемой величины. При исследовании случайного процесса весь временной интервал представляется последовательностью из временных точек , , в каждой из которых измеряется значение сечения . Индекс - номер реализации случайного процесса, . Полученные данные образуют матрицу сечений размером , что и является моделью исследуемого процесса (табл. 5.2). Таблица 5.2. Результаты исследования случайного процесса   Реализации Временные точки                 Совокупность сечений в каждой временной точке (столбец матрицы), представляет собой случайные числа некоторой случайной величины в общем случае со своими законами распределения, матожиданиями, дисперсиями: При решении практических задач последовательности этих оценок матожиданий и дисперсий, определенных в точках , достаточно полно представляют моделируемый случайный процесс. Оценки матожиданий и дисперсий можно аппроксимировать подходящими кривыми в предположении непрерывности процесса. Иногда исследователя интересует связь сечений случайного процесса между собой. Степень зависимости между сечениями определяет автокорреляционная функция. Оценка ее имеет вид: (t_s)]) где и - значения сечений в точках и соответственно -й реализации; и - оценки матожиданий совокупности сечений в точках и соответственно. Данные расчета значений автокорреляционной функции , , помещают в таблицу, которая и является табличным определением ее. В случае необходимости данные таблицы могут быть представлены подходящей аппроксимирующей кривой. Пример таблицы значений для случайного процесса, определенного пятью сечениями , показан в табл. 5.3. Таблица 5.3. Значения автокорреляционной функции   Временные точки   Очевидно, что рассчитывать все значения для заполнения таблицы (в данном примере их 25) не надо, так как значения при ("северо-западная диагональ") представляют собой значения соответствующих дисперсий. И , что исключает необходимость расчета половины оставшихся значений коэффициентов автокорреляционной функции, расположенных выше или ниже упомянутой диагонали.

Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 1143; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!