Тема 4. Основы корреляционного, регрессионного и дисперсионного анализа применительно к правоохранительной и управленческой деятельности

Начальник учебного отдела О.Ю.Чернышова

Эм (семинарские занятия) – 15.30-17.10 по понедельникам

Ч. 15.30-17.10

Часы лекций: 2ч. 13.40-15.20

ОСЕННИЙ СЕМЕСТР) 2013-2014 уч.г.

Начальник учебного отдела О.Ю.Чернышова

Эм (7 практических занятий) – среда 16.00-17.40 с 18.09-30.10

Ч. 15.30-17.10

Часы лекций: 2ч. 13.40-15.20

ОСЕННИЙ СЕМЕСТР) 2013-2014 уч.г.

Гр.401-404 (02.09,09.09,16.09)

Гр.405-408 (23.09,30.09,07.10)

Гр.409-411 (14.10,21.10,28.10)

При решении прикладных задач нередко возникает необходимость установления факта существования функциональных или иных зависимостей между переменными величинами, которые могут быть и случайными.

Пусть существуют переменные Y, X ₁, Х ₂,…, Х_k. Необходимо установить степень влияния X ₁, Х ₂,…, Х_k на Y.

Переменная Y может быть случайной величиной, даже если X ₁, Х ₂,…, Х_k таковыми не являются, так как может существовать еще ряд неучтенных факторов и ошибки измерения. В таком случае связь между X ₁, Х ₂,…, Х_k и Y является не функциональной, а стохастической.

Кроме того, исследователя может интересовать, существует ли взаимозависимость между случайными величинами.

Таким образом, задачей корреляционного анализа является исследование наличия и силы взаимосвязей между случайными величинами.

Выборочный эмпирический корреляционный момент определяется следующим образом:

,

где и — выборочные средние.

Справедлива формула:

Для оценки связи между случайными величинами используется выборочный коэффициент корреляции:

,

где - выборочные средние квадратичные отклонения величин Х и Y соответственно.

Пример 11. По данным примера 7 найти выборочные коэффициенты корреляции между количеством населения и общим количеством зарегистрированных преступлений, количеством тяжких преступлений, количеством умышленных убийств.

Решение.

Найдем выборочные средние:

Далее найдем выборочные корреляционные моменты:

Найдем выборочные среднеквадратичные отклонения:

При известных выборочных корреляционных моментах и выборочных среднеквадратичных отклонениях найдем искомые выборочные коэффициенты корреляции:

Пример 12. По приведенным в таблице 1 статистическим данным найти выборочные коэффициенты корреляции между уровнем преступности и каждым из динамических рядов независимых факторов преступности.

Таблица 1

Решение.

Найдем выборочные средние. Обозначим через выборочную среднюю уровня преступности, через и т.д. – выборочные средние независимых факторов:

Далее найдем выборочные корреляционные моменты:

Найдем выборочные среднеквадратичные отклонения:

При известных выборочных корреляционных моментах и выборочных среднеквадратичных отклонениях найдем искомые выборочные коэффициенты корреляции:

Таким образом, можно сделать вывод о том, что существует тесная связь между уровнем преступности и следующими независимыми факторами: долей городского населения, долей несовершеннолетних, долей ранее судимых, долей незанятых, долей наркоманов, потреблением алкоголя, плотностью сотрудников уголовного розыска. Необходимо также отметить, что существует слабая отрицательная корреляция между уровнем преступности и выпуском промышленной и сельскохозяйственной продукции. Кроме того, слабое влияние плотности сотрудников ОВД на уровень преступности может свидетельствовать о неэффективной организации их работы, ответ на данный вопрос требует дополнительного исследования.

При рассмотрении двумерной случайной величины (Y, X) используются различные приближения одной случайной величины с помощью другой. Важнейшим из них является линейное приближение.

Предположим, что случайная величина приближенно представляет случайную величину Y. При различных a и b она может по-разному отклоняться от Y. Если числа подобраны так, что величина будет наименьшей, то числовая функция a х +b называется линейной средней квадратичной регрессией Y на Х. Коэффициент a обозначают через r _xy и называют выборочным коэффициентом регрессии Y на Х. Нахождение такой прямой называют наилучшим приближением Y по методу наименьших квадратов.

Известно, что , причем:

Таким образом, задачей регрессионного анализа является установление аналитических зависимостей между случайными величинами.

Пример 12. По данным примера 7 найти параметры линейной регрессии для зависимостей общего числа зарегистрированных преступлений, тяжких преступлений и умышленных убийств от количества населения.

Решение.

Подставляя исходные данные в расчетные формулы, получим:

Дисперсионный анализ позволяет ответить на вопрос о наличии существенного влияния некоторых факторов на изменчивость признака, значения которого могут быть получены в результате опыта. При проверке статистических гипотез предполагается случайность вариации изучаемых факторов. В дисперсионном анализе один или несколько факторов изменяются заданным образом, причем эти изменения могут влиять на результаты наблюдений. Исследование такого влияния является целью дисперсионного анализа.

Идея дисперсионного анализа заключается в том, что дисперсия разлагается в сумму составляющих ее дисперсий, каждое слагаемое которой соответствует действию определенного фактора. Например, в однофакторном анализе получится разложение вида:

Здесь:

D_A (X) – дисперсия, вызванная влиянием фактора А.

D_Z (X) – остаточная дисперсия.

Часто рассматривается случай, когда этот единичный фактор принимает некоторое количество различных фиксированных уровней. Если фактор имеет k различных уровней, и на каждом уровне сделано n наблюдений, то имеется таблица размером n x k.

Таблица 5.2

Рассматривается гипотеза Н ₀ – фактор не оказывает влияния на изменчивость признака. Сравниваются дисперсия, вызванная влиянием фактора, и остаточная дисперсия. Если различие между этими дисперсиями значимо, то фактор оказывает существенное влияние на случайную величину; в этом случае средние наблюдаемых значений на каждом уровне (групповые средние x ₁, x ₂,…, x_k) различаются также значимо.

Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 342; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!