Производная ФУНКЦИИ по направлению

Формула конечных приращений для функции многих переменных.

=

= =

= .

Δ. Доказательство основано на возможности соединить точки и Р прямолинейным отрезком, принадлежащим области . ▲

Пусть задана функция трех переменных и в пространстве задано направление . Производной функции по направлению называется .

Запишем параметрическое уравнение прямой проходящей через точки Р и Р ₀:

; : .

Тогда: и, значит

.

Если ввести в рассмотрение вектор то получим .

Значит , где j - угол между направлением и направлением .

Следовательно, показывает направление наискорейшего возрастания функции f, а его длина совпадает со скоростью возрастания функции в этом направлении.

§. Инвариантность формы 1^го дифференциала при замене переменных.

Пусть , и .

Тогда и

= = =

= =

= = .

То есть: .

Последняя формула выражает свойство инвариантности формы первого дифференциала относительно замены переменных.

Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 265; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!