Методом Гаусса

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными:

(27)

Допустим, что в системе коэффициент при х ₁ в первом уравнении . Разделив обе части этого уравнения на , получим равносильную данной систему:

(28)

где .

Исключим с помощью первого уравнения системы (28) неизвестное из всех оставшихся уравнений этой системы. Для этого умножим первое уравнение этой системы последовательно на и в том же порядке вычтем полученное из второго, третьего и последующих уравнений системы (28). В результате получим равносильную систему вида

(29)

где ,

,

.

Допустим, что коэффициент при во втором уравнении системы (29) отличен от нуля. В противном случае переставим местами уравнения этой системы, записав вторым другое уравнение с подходящим вторым коэффициентом.

Исключим неизвестное с помощью второго уравнения на . Затем умножим последовательно полученное второе уравнение на и вычтем эти результаты из третьего, четвертого и всех оставшихся уравнений. В итоге получим очередную систему уравнений:

где ,

Продолжая этот процесс исключения неизвестных, получим либо несовместную, либо совместную систему уравнений. В первом случае в системе будет содержаться уравнение, в котором все коэффициенты левой части равны нулю, а свободный член отличен от нуля, т.е. уравнение вида , где . Во втором случае получим либо систему треугольной формы .

(30)

либо систему трапециевидной (ступенчатой) формы

(31)

В случае треугольной системы из последнего уравнения (30) следует, что . Подставляя это значение в предпоследнее уравнение системы (30), найдем неизвестное . Подставляя значения и в предыдущее уравнение, найдем значение неизвестного и т.д.

Таким образом. Если данная система (27) с помощью элементарных преобразований приводится к системе треугольной формы, то система имеет единственное решение (т.е. система совместна и определенна).

В случае системы ступенчатой формы (31), перенося все слагаемые, содержащие неизвестные , в правую часть уравнений, получим систему вида

(32)

Из (32) следует, что значения неизвестных выражаются через значения неизвестных . Так как последним неизвестным, называемым свободными неизвестными, можно придавать любые произвольные значения, то система (32), а вместе с ней и данная система (27), имеет бесконечное множество решений.

Итак, если данная система приводится к трапециевидной форме, то она имеет бесконечное множество решений (т.е. система совместна и неопределенна). Найденные решения, записанные в форме

, , …,

, где - любые числа, называются общими решениями системы. Решения, полученные из общих решений при конкретных значениях свободных неизвестных , называются частными решениями.

Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 339; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!