Вимушені коливання нескінченної струни

Розглянемо задачу: вивчити процес вимушених коливань однорідної нескінченної струни, яка знаходиться під дією рівномірно розподіленої зовнішньої сили інтенсивністю , якщо початкове відхилення струни рівне , а початкова її швидкість .

Математична модель задачі: в області знайти розв’язок диференціального рівняння

(10.1), який задовольняє початкові умови

(10.2)

Покажемо, що (10.3)

де функція є розв’язком задачі Коші:

(10.4)

(10.5)

Дійсно, продиференціювавши (10.3) та врахувавши умови (10.5), одержимо

Тоді підстановка похідних в рівняння (10.1) дає

а тобто функція (10.3) є розв’язком рівняння (10.1) і задовольняє однорідні початкові умови.

Згідно з формулою Д’Аламбера (9.6), маємо
(10.6)

Підставивши (10.6) у (10.3), одержимо розв’язок поставленої задачі Коші (10.1), (10.2): (10.7)

Принцип побудови розв’язку задачі Коші (10.1), (10.2) називається принципом Дюгамеля. Він використовується і при побудові розв’язків задач Коші для хвильових рівнянь у багатовимірному середовищі.

Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 590; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!