Ток смещения

Теорема о циркуляции для вектора напряжённости магнитного поля имеет вид: .

Применим к обеим частям дивергенцию: . Левая часть равна нулю: , но правая (уравнение непрерывности электрического заряда).

Откуда следует , т.е. объемная плотность заряда не зависит от времени. Следовательно, равенство применимо для случая, когда . В этом случае векторное поле плотности тока является вихревым, поэтому линии тока замкнутые. Рассмотрим теорему о циркуляции вектора напряженности вокруг замкнутого проводника, в котором течёт постоянный ток .

Линии тока в этом случае замкнутые, поэтому если взять несколько поверхностей S₁, S₂, S₃, S₄ имеющих вид мешков, общим горлом которых является контур Г, то должно выполняться равенство:

,

т.к. сила тока в любом сечении проводника одинаковая.

Теперь поместим в цепь конденсатор С. Пусть по цепи протекает постоянный ток. Поверхность S ₃ проведём таким образом, чтобы она охватывала одну из обкладок конденсатора. Так как в конденсаторе нет тока проводимости, то

,

но по-прежнему

.

Но расположение конденсатора можно поменять так, чтобы одна его обкладка находилась внутри поверхности не S₃, а например, S₂. Тогда получим равенства и

.

Получаем противоречие – циркуляция векторного поля по контуру Г, не охватывающему участок цепи с конденсатором, зависит от произвольного выбора места расположения конденсатора. Чтобы снять это противоречие Максвелл выдвинул гипотезу о том, что наряду с током проводимости существует ток смещения, который также создаёт магнитное поле. Плотность тока смещения задаётся скоростью изменения вектора электрического смещения: .

Плотность полного тока – векторная сумма плотности тока проводимости и плотности тока смещения: .

Найдём дивергенцию вектора плотности полного тока. Учтём закон сохранения электрического заряда и теорему Гаусса для вектора электрического смещения :

.

Таким образом, векторное поле плотности полного тока не имеет источников, т.е. является вихревым, следовательно, силовые линии полного тока являются замкнутыми.

Рассмотрим случай, когда по замкнутой цепи течёт постоянный ток, тогда , откуда

.

Т.к. цепь замкнутая, то не происходит накапливания электрического заряда ни в одной точке цепи с течением времени и поэтому можно считать, что вдоль цепи . Поэтому нет тока смещения и .

Если цепь содержит конденсатор, то между обкладками отсутствует ток проводимости. Поэтому силовая линия тока проводимости имеет разрыв на обкладках конденсатора – т.е. обкладки имеют стоки и источники поля векторов плотности тока проводимости . Из уравнения непрерывности для тока следует, что источниками (и стоками) электрического тока в цепи являются меняющиеся электрические заряды на обкладках. Но, в то же самое время, изменение электрического заряда на обкладках служит стоком и источником тока смещения в пространстве между обкладками:

.

Т.е. из-за изменения электрического заряда конденсатора (во времени) векторное поле электрического смещения в пространстве между обкладками будет меняться во времени, что приведёт к появлению тока смещения в пространстве между обкладками конденсатора. Поэтому между обкладками конденсатора .

Так как сила тока проводимости (с учётом знака) равна потоку вектора плотности тока проводимости через ориентированную поверхность: , то, аналогично, можно определить и силу тока смещения (с учётом знака) через ориентированную поверхность: .

Если поверхность S неподвижная, то

.

Закон полного тока: сила полного тока равна сумме тока проводимости и тока смещения.

Вывод. Если в теореме о циркуляции для напряжённости магнитного поля заменить ток проводимости на полный ток, то противоречие будет снято:

, .

Или, в интегральной форме:

- циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по любому замкнутому (ориентированному) контуру равна сумме токов проводимости и смещения через ориентированную поверхность, ограниченную этим контуром. Ориентации контура и поверхности согласованы правилом правого винта (буравчика). Эти соотношения часто называют законом полного тока.