Постановка та основні означення парної лінійної регресії. Метод найменших квадратів. Система оцінки параметрів економетричної моделі з двома змінними

ТЕМА 2. ЗАГАЛЬНА ЛІНІЙНА ЕКОНОМЕТРИЧНА МОДЕЛЬ. МЕТОДИ ПОБУДОВИ ТА ДОСЛІДЖЕННЯ

ПЛАН (ЛОГІКА)ВИКЛАДУ І ЗАСВОЄННЯ МАТЕРІАЛУ

2.1.Постановка та основні означення парної лінійної регресії. Метод найменших квадратів. Система оцінки параметрів економетричної моделі з двома змінними.

2.2.Дисперсійний та кореляційний аналіз побудованої моделі.

2.3.Постановка загальної лінійної моделі.

2.4.Передумови застосування методу найменших квадратів (1МНК).

2.5.Властивості оцінок параметрів.

2.6. Перевірка моделі на якість і точність.Прогноз.

На базі простої економетрічної моделі розглянемо принципову структуру економетрічної моделі та основні методи оцінювання її параметрів.

Найпростішою є лінійна форма зв’язку між двома змінними:

(2.1)

де і _– невідомі параметри.

Щоб розв’язати цю задачу до економетричної моделі вводять стохастичну складову, яка акумулює в собі всі відхилення фактичних спостережень змінної У від обчислених в моделі, тоді загальна форма економетричної лінійної моделі має вигляд:

(2.2)

Введення в модель стохастичної складової, яку ще називають похибкою, збуренням, відхиленням, зумовлена слідуючи ми факторами:

1. На величину У впливають ще інші об’єктивні чинники.

2. На величину Х також впливають випадкові фактори.

3. Крім того існує ймовірність помилки вимірювання.

Ця випадкова змінна в економетричній моделі має математичний розподіл нуль, дисперсію. Тому на підставі центральної граничної теореми стохастична складова економетричної моделі розподілена за нормальним законом.

Парна лінійна регресія (У на Х) називається двохстороння стохастична лінійна залежність між випадковими величинами (показник У і фактор Х), які знаходяться в причинно-наслідкових відношеннях, причому зміна фактора викликає зміну показника.

Слід відрізняти стохастичну залежність від функціональної. При цьому одному значенню фактора може відповідати декілька значень попередника.

Суть регресійного аналізу полягає в тому, щоб знайти згладжувальну лінію, яка найкращим чином проходить через задану множину точок (Х,У).

Найпоширеним методом при розв’язанні подібних проблем є метод найменших квадратів МНК (основоположники К. Гаус, П. Лаплас).

Справжні значення параметрів обчислити не можна, тому здобуті значення параметрів лінійної моделі є статистичними оцінками справжніх параметрів а і b.

Розглянемо різницю у та , де у – фактичні, - розрахункові значення показника. U= у - .

МНК для парної лінійної регресії полягає в підборі таких оцінок параметрів регресії та для яких сума квадратів відхилень спостережуваних даних показника від зглажувальних буде мінімальною, тобто:

U²=(у - )²=min (2.3)

Необхідною умовою існування мінімуму функціонала U² є рівність нулю частинних похідних цього функціоналу по і . А достатньою умовою існування екстремуму в критичній точці (;) є додатне значення визначника складеного з частинних похідних другого порядку.

Принцип найменших квадратів відхилень полягає в знаходженні таких і , для яких найменша. Необхідна умова для цього — перетворення на нуль похідних цієї функції за кожним із параметрів і . Метод, який реалізує принцип найменших квадратів, називається методом найменших квадратів (1МНК). Оскільки

,

то

Виконавши елементарні перетворення, дістанемо систему нормальних рівнянь

(2.4)

Підставимо в систему (2.4) значення , , , , які можна дістати на підставі сукупності спостережень, і розв’яжемо її відносно невідомих параметрів і :

Оскільки оцінки найменших квадратів такі, що лінія регресії обов’яз­ково проходить через точку середніх значень (), то оцінки параметрів моделі можна знайти дещо інакше.

Поділивши перше рівняння системи (2.4) на n, дістанемо:

. (2.5)

Віднімемо (2.2) від (2.1):

.

Нехай

, і ,

тоді

,

а відхилення фактичних значень від розрахункових будуть такі:

.

Сума квадратів залишків при цьому,

.

Мінімізація цієї суми за невідомим параметром дає співвідношення:

. (2.6)

Крім того, можна помітити, що тобто друга похідна за параметром від суми квадратів відхилень додатна. Отже, знайдене значення відповідає мінімуму суми квадратів відхилень.

Якщо чисельник і знаменник виразу () поділити на (), то після нескладних перетворювань отримаємо:

(2.7)

Зауважимо, що оцінки параметрів моделі згідно з методом МНК є досить чутливими до точності розрахунків.

Параметр можна обчислити, використавши співвідношення (2.5):

. (2.8)

Співвідношення (2.8) можна було б дістати також, записавши друге рівняння системи (2.4) через відхилення кожної змінної від її середнього арифметичного значення, згадавши при цьому, що сума таких відхилень завжди дорівнює нулю.

Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 854; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!